geometría y juegos no euclidianos

el término «no euclidiano» es utilizado a menudo por los jugadores (desarrolladores de juegos, periodistas, etc.) para significar cualquier tipo de juego donde el espacio no funciona exactamente como en nuestro mundo. Si bien estos juegos suelen ser increíbles y muy divertidos, esto no es lo que significa tradicionalmente» no euclidiano » para los matemáticos, para quienes tiene un significado más preciso, que no es «nada que no sea un espacio perfectamente normal». Este artículo proporciona un resumen de lo que significa «no euclidiano», y las diversas geometrías extrañas utilizadas en los juegos.,

El descubrimiento de la geometría no euclidiana es uno de los momentos más celebrados, sorprendentes y locos de la historia de las matemáticas. Es algo que muchos grandes pensadores durante más de 2000 años creían que no existía (no solo en el mundo real, sino también en los mundos de fantasía)., Se han creado tantas exposiciones populares de las matemáticas que discuten la geometría no euclidiana que el término ha entrado legítimamente en la conciencia pública general, como algo extremadamente extraño, importante, loco y difícil de entender. En general, algo extremadamente fresco!

recientemente, el término «geometría no euclidiana» ha sido apropiado por algunos desarrolladores de juegos para cualquier tipo de espacio de juego que funcione de una manera diferente a la nuestra., Esto es desafortunado, ya que los jugadores se sienten atraídos por este tipo de juegos, pensando «hey, por fin voy a tener la oportunidad de entender que cosa extraña e importante lo que todos estos matemáticos estaban locos!», que no está cerca de la verdad —mientras que estos juegos son por lo general muy fresco, por lo general se basan en conceptos relativamente sencillos que no tienen nada que ver con la cosa original.

Euclides ha demostrado cómo todo en Geometría (Teorema de Pitágoras, etc.,) podría derivarse de un pequeño conjunto de postulados muy simples but pero había una cosa de la que no estaba contento: su quinto postulado, que en realidad no era tan simple: si un segmento de línea interseca dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.. Euclides creía que su quinto postulado podría ser probado de los otros, y fracasó, al igual que muchos matemáticos a través de los tiempos., El misterio se ha resuelto en el siglo 19.

estoy decidido a publicar un trabajo en parallels tan pronto como pueda ponerlo en orden, completarlo, y surge la oportunidad. Todavía no he hecho el descubrimiento, pero el camino que he seguido es casi seguro que me llevará a mi objetivo, siempre que este objetivo sea posible. Todavía no lo tengo, Pero he encontrado cosas tan magníficas que me quedé asombrado. Sería una pena eterna si estas cosas se perdieran como tú, mi querido Padre, estás obligado a admitir cuando las ves. Todo lo que puedo decir ahora es que he creado un mundo nuevo y diferente de la nada., Todo lo que te he enviado hasta ahora es como un castillo de naipes comparado con una torre. – János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky y Gauss han creado un nuevo mundo, donde todos los postulados de Euclides se mantienen excepto el quinto, mostrando así que el quinto postulado no puede ser probado de los otros. Puesto que Euclides creía que tal cosa no podía existir, ha sido llamada por la geometría no euclidiana de Gauss.

hoy en día, llamamos a esta geometría hiperbólica, mientras que la geometría no euclidiana (bidimensional) podría ser hiperbólica o esférica., Una esfera está curvada en la tercera dimensión; decimos que tiene una curvatura positiva constante. (La superficie de la Tierra es una buena aproximación, aunque la curvatura no es exactamente constante: es ligeramente más plana en los polos. La geometría euclidiana tiene curvatura 0, mientras que la geometría hiperbólica tiene curvatura negativa constante.,

puede saber fácilmente si está en un mundo no euclidiano de las siguientes maneras:

• busque líneas paralelas. En geometría euclidiana, están en una distancia constante el uno del otro., En geometría esférica, convergen, y en geometría hiperbólica, divergen.
• Mira los ángulos de un triángulo. En geometría euclidiana, suman 180 grados. En geometría esférica, se suman a más (por ejemplo, tomar el Polo Norte, y dos vértices en el ecuador como los vértices). En geometría hiperbólica, se suman a menos.
• Una manera fácil de saber si un juego utiliza Geometría realmente no euclidiana es buscar rectángulos., En Geometría no euclidiana no hay rectángulos, cualquier cosa que se parezca un poco a un rectángulo en realidad tiene sus ángulos menores de 90 grados, o sus bordes son curvados. Por lo tanto, si ves rectángulos, el juego no es (probablemente) no euclidiano.
• En geometría euclidiana, un círculo de radio r tiene perímetro 2NR. En geometría esférica, es 2nsin (r) (que está limitada), y en geometría hiperbólica, es 2nsinh (r) (que crece exponencialmente). En un mundo hiperbólico tridimensional con «unidad absoluta» de 1m, una bola con radio 100m tendrá mayor volumen que el universo observable!,
• En Juegos y simulaciones 3D verdaderamente no euclidianos, el paralaje funciona de manera diferente. En el espacio euclidiano, las cosas que están lejos de ti (estrellas, montañas distantes) se ven aproximadamente en el mismo lugar que te mueves. Esto cambia en geometrías no euclidianas: en el espacio hiperbólico, todo se mueve, mientras que otras geometrías no euclidianas son aún más extrañas.

juega a nuestra Hiperrogue para explorar un mundo no euclidiano y obtener algunas intuiciones sobre cómo funciona la geometría no euclidiana. El juego principal está diseñado para el plano hiperbólico, pero también puedes experimentar con otras geometrías 2D y 3D.,

colectores

Los juegos que afirman ser no euclidianos generalmente tienen mundos obtenidos mediante la realización de algún tipo de «cirugía»: cortamos algunos fragmentos (cámaras) de un espacio euclidiano, y luego los pegamos juntos de alguna manera no estándar. En los Juegos 3D, el lugar donde realizamos la cirugía generalmente se parece a un portal, pero el juego también puede hacer que la cirugía parezca perfecta., Matemáticamente, esto se llama una variedad euclidiana (o plana) (con límite); euclidiana/plana porque está hecha de fragmentos de espacio euclidiano, y «con límite» porque típicamente hay algunas paredes que no se podían atravesar, y algunos puntos dentro de tales paredes ni siquiera se podían modelar consistentemente (paredes de los portales). También es posible tener colectores sin límite; típicamente estos parecen espacios periódicos.

Estos juegos son probablemente llamados no euclidianos porque su geometría es imposible de interpretar consistentemente como parte de un mundo similar al nuestro., En un Euclidiana mundo, cuando usted vaya a 10 metros, gire 90 grados a la derecha, ir 10m, el giro de 90 grados a la derecha, ir 10m, el giro de 90 grados a la derecha, ir 10m, y el giro de 90 grados a la derecha, de regresar a su punto de partida y de orientación. En una variedad (y también en Geometría no euclidiana como se describió anteriormente) es posible terminar en un punto diferente. (Un gran ejemplo de esto es el proyecto VR Tea for God, donde el mundo VR que estás explorando es enorme, mientras que en el mundo real estás caminando de un lado a otro alrededor de una pequeña habitación.,) También es posible hacer un bucle que te lleva de vuelta a tu punto de partida dentro de la variedad, pero sería diferente en el mundo euclidiano. Sin embargo, esto no es lo que la geometría no euclidiana significa para un matemático. La cirugía cambia la topología del espacio, pero no Cambia su geometría.

en un colector a veces se pueden encontrar triángulos cuyos ángulos suman algo más de 180 grados, o líneas paralelas que dejan de estar cerca cuando uno de ellos pasa a través de un portal., Sin embargo, en un mundo verdaderamente no euclidiano, estos fenómenos ocurren incluso para triángulos muy pequeños, y para cada par de líneas. Efectos como esta animación no podrían lograrse usando portales — en Geometría no euclidiana es posible ver todo el Pentágono en ángulo recto a la vez, mientras que con portales, uno de los cinco ángulos rectos siempre estará oculto detrás de un portal.

una manera fácil (pero limitada) de implementar un colector en un juego es hacer dispositivos de teletransportación invisibles, que teletransportan sin problemas al jugador a otra ubicación que se ve exactamente igual., Esa técnica funciona básicamente en cualquier motor de juego (incluso en Minecraft). He visto muchos comentarios bajo videos usando esta técnica diciendo » esto no es no euclidiano, solo estás usando telepuertos!»Estos comentarios tienen razón de que esto no es no euclidiano en el sentido matemático, pero el uso de telepuertos no tiene nada que ver con eso. En general, encuentro ese sentimiento raro. Lo que importa es el efecto, no cómo se aplica. Cualquier videojuego es una ilusión, después de todo.

Por supuesto, también podríamos hacer esto a partir del espacio no euclidiano, obteniendo una variedad no euclidiana., Las variedades hiperbólicas son típicamente acotadas, por lo que pierden su crecimiento exponencial (y, dependiendo del diseño del juego, este crecimiento exponencial puede ser un gran problema técnico); sin embargo, las líneas paralelas y los triángulos todavía funcionan de manera diferente.

cuando la distancia no es la métrica euclidiana

he visto a algunas personas argumentar que cualquier juego jugado en cuadrículas cuadradas no es euclidiano., Esto se debe a que, en tal juego, el número de pasos que debe tomar para alcanzar el punto (x,y) desde el punto (0,0) está dado por la fórmula |x|+|y| (llamada métrica taxicab) o max(|x|, |Y|) (llamada métrica de Chebyshev), o alguna otra fórmula donde el conjunto de puntos en D pasos es un octágono, mientras que el teorema de Pitágoras dice que la distancia entre estos dos puntos es en realidad la raíz cuadrada de x2+y2 (llamada euclidiana métrico). Del mismo modo, se podría decir que HyperRogue no es hiperbólico, ya que es un juego basado en cuadrículas.,

de hecho, realmente no necesitamos una cuadrícula para este problema: si juegas un juego de arriba hacia abajo con espacio continuo usando el teclado, generalmente puedes moverte en ocho direcciones, por lo que la distancia aún estará dada por una de las fórmulas anteriores. Esto haría que muchos juegos no fueran euclidianos.

esto parece ser de nuevo una confusión que surge de tener varias cosas nombradas después de Euclides. «No euclidiano» significa que el axioma paralelo de Euclides no está satisfecho, no que la métrica sea diferente de la métrica euclidiana., Los juegos basados en cuadrículas normalmente no son percibidos por la gente como algo extraño, y esto se espera, ya que muchas propiedades importantes de estos espacios son similares a las de los espacios continuos. Las líneas paralelas en una cuadrícula cuadrada funcionan como en la geometría euclidiana, mientras que las grandes paredes en la Hiperrogue funcionan como líneas rectas en la geometría hiperbólica. Una cuadrícula cuadrada crece cuadráticamente, al igual que el plano euclidiano, mientras que el mundo Hiperrogue crece exponencialmente. Y así sucesivamente., Un fenómeno bastante impresionante surge cuando se está simulando cómo los efectos se propagan en una cuadrícula cuadrada — por ejemplo, se está simulando la transferencia de calor (en el tiempo 0 un punto de la cuadrícula es muy caliente, y se deja que el calor se propague a otros puntos), o caminar al azar (en el tiempo 0 Hay muchas partículas en un punto de la cuadrícula, y luego cada uno de ellos se mueve al azar). Aunque parezca a primera vista que las ondas deben extenderse en formas cuadradas u octogonales (debido a la cuadrícula de la estructura), ¡de hecho son perfectamente circulares!, Esto sucede en cualquier cuadrícula suficientemente simétrica en el plano euclidiano, pero será diferente en otras cuadrículas!

artistas asociados con la geometría no euclidiana

M. C. Escher ha creado muchas grandes obras de arte basadas en geometrías imposibles, lo que a su vez ha inspirado muchos juegos increíbles. Si usted lee que Escher utiliza la geometría no euclidiana, esto es cierto, que hizo uso de la geometría no euclidiana en su círculo serie límite. Sin embargo, si un juego te recuerda, por ejemplo, de, Ascendiendo y descendiendo, cascada, relatividad, profundidad u otro mundo II, bueno, estas obras de arte no tienen mucho que ver con la geometría no euclidiana. Los términos comúnmente usados para tales espacios incluyen espacio/geometría imposible o Escheresco.

otro artista comúnmente asociado con la geometría no euclidiana es H. P., Lovecraft: superficies demasiado grandes para pertenecer a cualquier cosa correcta o apropiada para esta tierra la geometría del lugar de ensueño que vio era anormal, no euclidiana, y repugnantemente redolente de esferas y dimensiones aparte de la nuestra, no se podía estar seguro de que el mar y el suelo fueran horizontales, por lo tanto, la posición relativa de todo lo demás parecía fantasmalmente variable. un ángulo agudo, pero que se comportaba como obtuso. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) estas descripciones son muy vagas, pero describen algunos de los sentimientos que un profano tiene cuando explora una simulación no euclidiana bastante bien, incluso sorprendentemente bien dado el hecho de que Lovecraft no tenía acceso a tales simulaciones: menciona que hay algo muy extraño acerca de los ángulos en R’lyeh, y se obtiene este sentimiento en una simulación no euclidiana, mientras que en los juegos que usan «no euclidiano» en un significado No matemático, los ángulos se ven en su mayoría normales; recuerdan al jugador más de las arquitecturas imposibles de Escher que r’lyeh., Este artículo explora esto con más detalle.

juegos y demos interactivos usando geometría no euclidiana

• Nuestro HyperRogue-un juego roguelike que tiene lugar en el plano hiperbólico (es decir, geometría hiperbólica bidimensional). Esto utiliza un plano hiperbólico (sin ninguna cirugía topológica o límite), por lo que su mundo es más grande que no Man’s Sky, MineCraft o cualquier cosa euclidiana.
• Bringris – nuestro juego de bloques de caída no euclidiano (similar a Tetris), hecho con el motor HyperRogue.
• cubo de Rubik similar a Magictil, pero en variedades 2D no euclidianas.,
• laberinto hiperbólico – un laberinto en una variedad hiperbólica 2D.
• Hypernom-utiliza geometría esférica tridimensional.
• Uniform Polychora-más geometría esférica tridimensional.
• no euclidiana VR (H3)-esta es la geometría hiperbólica tridimensional. Véase también H2xR (hiperbólico en algunas dimensiones y euclidiano en otras dimensiones) y una nueva versión.
• nuestro ganchillo Virtual-una demostración en geometría esférica tridimensional.
• Espacios curvos-vuela a través de variedades tridimensionales no euclidianas.,
• juegos hiperbólicos-juegos simples en variedades hiperbólicas 2D.
• Hipersweeper-Buscaminas en el plano hiperbólico.
• Sokyokuban-Sokoban-como en el plano hiperbólico, jugable en un navegador. La holonomía lo hace interesante. (Vea también esto para otro rompecabezas basado en holonomía.)

juegos en desarrollo

recientemente hay varios proyectos de juegos no euclidianos en desarrollo!

• Hypermine-este es un Minecraft-como en el espacio hiperbólico tridimensional., Las capturas de pantalla en la galería son bastante impresionantes, y el desarrollo está progresando bastante bien! (actualización: desafortunadamente, el desarrollo se está ralentizando recientemente: ()
• HyperBlock-otro estilo de Minecraft. Esto utiliza la geometría H2xR, es decir, un plano hiperbólico con la coordenada’ z ‘ trabajando de manera euclidiana.
• Hyperbolica – un juego no euclidiano en desarrollo. El trailer muestra geometría hiperbólica y un poco de geometría esférica., Al contrario de HyperRogue, Hypermine e Hyperbolica, que se centran en el juego en un mundo infinito, parece ser más un juego basado en la historia, con caminar, rompecabezas, elementos de disparo y gráficos más convencionales. (El sol en el espacio hiperbólico no funciona como se muestra en el tráiler — debería volverse visiblemente más brillante a medida que nos movemos hacia él—, pero con suerte se cambiará 🙂
• billar No euclidiano en VR-la idea de mapear una mesa cuadrada real en ángulo recto a un pentágono hiperbólico en ángulo recto, o triángulo esférico en ángulo recto, es muy genial!,
• Por último, pero no menos importante, HyperRogue también está en desarrollo: su motor no euclidiano y unique world es un gran campo de pruebas para varios experimentos con géneros de juegos u otras geometrías extrañas, y los resultados de estos experimentos se agregan al juego. Al cambiar las opciones, puede obtener algo completamente diferente al roguelike original en el plano hiperbólico.Puede experimentar con geometría esférica, varias variedades sin límite, geometrías 3D, incluidas las no isotrópicas; roguelites, Carreras, Rompecabezas, etc.,
• Spaceflux – los videos existentes muestran «geometría fractal», pero los planos en la página de kickstarter mencionan geometría hiperbólica e incluso geometría no isotrópica (Solv).

ejemplos de juegos notables jugados en colectores

• Asteroids (1979) – cuando pasas por el borde este del mundo, apareces en el borde oeste; de manera similar para el norte o el oeste. Esta es una variedad plana bidimensional sin límite (llamada Toro Plano).
• Pac-Man (1980) — like Asteroids., En la mayoría de las versiones solo se puede pasar a través del borde E-W, pero no a través del borde N-S, lo que lo convierte en un cilindro (un colector con límite).
• Civilization (1991)-como se mencionó anteriormente, la superficie de una esfera no es euclidiana. Por eso es imposible hacer un mapa plano de la tierra que no distorsione nada. Desafortunadamente, la mayoría de los juegos que tienen lugar en un planeta esférico no toman en cuenta Esta geometría no euclidiana; toman un mapa plano y pretenden que este mapa no tiene distorsiones., La civilización se juega en un cilindro (no se puede pasar por un polo, mientras que en el mundo real, el vuelo más corto de Europa a Hawai pasaría por el Polo Norte). Algunos otros juegos se juegan en Tori plana, que es en cierto sentido aún más diferente de una esfera.
• Portal (2007) – una vez que se colocan algunos portales, el mundo se convierte en una variedad con límites.
• Manifold Garden (2019) – utiliza el término «manifold» correctamente. No he jugado todavía, parece ser principalmente una tridimensional toro (es decir,,, un colector plano tridimensional sin límite), pero tiene algunos portales también.
• fragmentos de Euclides, Vector paradoja – estos juegos están en variedades euclidianas Escherescas. Escheresco como en la relatividad de Escher u otro mundo: las direcciones no son consistentes. Fragments of Euclid es un juego de puzzle, mientras que Paradox Vector es un FPS.
• Maquette (que se lanzará en 2020) parece ser un juego con portales, donde un extremo del portal puede ser más grande que el otro extremo, y en consecuencia los objetos pueden ser más grandes o más pequeños después de pasar por el portal., Mirror stage (2009) es una idea similar en 2D; Véase también la tumba de Sierpiński. También es posible tener portales donde un extremo es un cuadrado y el otro es un rectángulo, haciendo que los objetos sean estirados por portales (ver también mi vieja demostración basada en una idea similar). Esto ya no es una variedad euclidiana, sino más bien una afín (podríamos llamarlo una «variedad similar» si solo se permite la escala, pero ese término no parece ser utilizado)., La geometría afín/similar es diferente a la geometría euclidiana (el 3er axioma no tiene sentido), pero todavía no se llama no euclidiana, ya que las líneas paralelas no se ven afectadas.

otros juegos notables que son geométricamente extraños

• Antichamber — este juego es probablemente responsable de popularizar el uso matemáticamente incorrecto del término «no euclidiano». Esto es principalmente una variedad euclidiana (con límite), pero también exhibe algunos efectos que no sucederían en una variedad (por ejemplo, terminas en un lugar diferente Cuando das algunos pasos y regresas)., Creo que casi todas las cosas raras en Antichamber podrían ser (y probablemente han sido) implementadas con el truco de teletransportación descrito anteriormente.
• juegos de cuatro dimensiones. Algunas personas pueden pensar en estos juegos como no euclidianos, porque cuatro dimensiones espaciales no encajarían en nuestro mundo tridimensional. Sin embargo, un mundo que funciona como nuestro antiguo espacio euclidiano tridimensional, excepto que tiene más dimensiones, todavía es definitivamente euclidiano (según la definición)., Por supuesto, es posible tener un espacio no euclidiano de cuatro dimensiones, pero en el momento de escribir esto, parece que ningún juego trató de implementar esto.
• trucos de perspectiva, como fez, Echodrome, Monument Valley, Naya’s Quest o Perspective. Superliminal tiene algunos aspectos de perspectiva y «afín múltiple». Estos juegos son raros y cool, pero no debe ser llamado no euclidiano tampoco. Yo llamaría a algunos de ellos Escheresque.

Videos que afirman ser no euclidianos (correctamente o no)

• Not Knot — un video clásico que presenta geometría 3D no euclidiana.,
• realidad virtual no euclidiana – esto es no euclidiano en el sentido matemático.
• nuestro Templo de Cthulhu en 3D-los «cuadrados» son realmente curvos. A primera vista parece que este mundo consiste en una secuencia de bolas cada vez más pequeñas. De hecho, estas «bolas» son horosferas (una forma de geometría hiperbólica que en realidad no tiene un análogo euclidiano; curiosamente, mientras que el mundo 3D aquí no es euclidiano, la geometría en la horosfera es euclidiana), y todas son infinitas., (videos más similares)
• Nuestra SolvRogue-mientras que en dos dimensiones solo tenemos geometría esférica, euclidiana e hiperbólica, hay geometrías aún más extrañas no euclidianas en tres dimensiones. Ve aquí por más.
• motor de mundos no euclidianos: este video comienza con Circle Limit DE M. C. Escher, que de hecho se basa en Geometría no euclidiana (hiperbólica). Sin embargo, la mayor parte del video presenta una variedad afín simple y antigua con límite.
• «No! Euclides!»GPU Ray Tracer obtiene una actualización! – esto es muy interesante, porque este es un espacio curvo, no basado en cirugía.,

Gracias a Henry Segerman por sugerir mejoras, y a todos los desarrolladores que intentan crear estas experiencias geométricas de control mental!