discusión
introducción & teoría
lógica detrás del momento de inercia: ¿por qué necesitamos esto?
definición para cuerpos puntuales
I = mr2
es una cantidad escalar (como su primo traslacional, la masa), pero tiene unidades de Aspecto Inusual.
Dilo, kilogramo metro cuadrado y no lo digas de otra manera por accidente.
para una colección de objetos, simplemente agregue los momentos., Funciona como la masa en este sentido, siempre y cuando usted está agregando momentos que se miden sobre el mismo eje.
I = ∑i = ∑mr2
para un cuerpo extendido, reemplace la suma con una integral y la masa con una masa infinitesimal. Se suman (integran) todos los momentos de inercia aportados por las diminutas masas (dm) situadas a cualquier distancia (r) del eje en el que se encuentren.,5e0″>
⌡
En la práctica, para los objetos con densidad uniforme (ρ = m/V) puedes hacer algo como esto…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 dm = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ dV = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | dV |
| V |
Para los objetos con uniforme de la densidad, reemplazar la densidad con una función de densidad, ρ(r).,
| I = | ⌠ R |
r2 dm = | td < |
r2 ρ(r) dV |
la cantidad infinitesimal la Vd es una diminuta pieza de todo el cuerpo. En la práctica, esto puede tomar una de dos formas (pero no se limita a estas dos formas). La caja infinitesimal es probablemente la más fácil conceptualmente. Imagina cortar el objeto en cubos.
Las piezas son DX wide, dy high y DZ deep.,dz
Cuando un objeto es esencialmente rectangular, se obtiene un conjunto algo como esto…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) | m | dx dy dz |
| V |
o este…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) ρ(x, y, z) dx dy dz |
Este es el camino para encontrar el momento de inercia de los cubos, cajas, planchas, baldosas, varillas y otros rectangular cosas., Tenga en cuenta que aunque la descripción matemática estricta requiere una integral triple, para muchas formas simples el número real de integrales calculadas a través del análisis de fuerza bruta puede ser menor. A veces, las integrales son triviales.
el otro elemento de volumen fácil para trabajar es el tubo infinitesimal. Imagina un puerro.
Cada capa del puerro tiene una circunferencia 2NR, espesor dr, y altura h.,los objetos, básicamente empieza con algo como esto…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | 2nrh dr |
| V |
o este…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) 2nrh dr |
Este método puede ser aplicado a los discos, tubos, tubos, cilindros, lápices, rollos de papel y tal vez incluso las ramas de los árboles, los floreros y los puerros (si tienen una simple descripción matemática).,
cuando las formas se vuelven más complicadas, pero siguen siendo algo simples geométricamente, divídelas en piezas que se asemejan a formas que ya se han trabajado y sumen estos momentos de inercia conocidos para obtener el total.
Itotal = I1 + I2 + I3 +<
para formas redondas un poco más complicadas, es posible que tenga que volver a una integral que no estoy seguro de cómo escribir.,conchas drical shells
| I = | ⌠ < |
Icylindrical shell(r) dr |
o esto para discos apilados y arandelas
| I = | ID ID |
iDisk o washer(r) Dr |
estos métodos se pueden utilizar para encontrar el momento de inercia de cosas como esferas, esferas huecas, conchas esféricas delgadas y otras formas más exóticas como conos, cubos y huevos — básicamente, cualquier que podría rodar y que tiene una descripción matemática bastante simple.,
cuando terminas con todo esto, a menudo terminas con una pequeña fórmula que se ve algo como esto<
I = amr2
donde α es un número racional simple como 1 para un aro, ½ para un cilindro, o α para una esfera.
¿Qué pasa si un objeto no está siendo girado sobre el eje utilizado para calcular el momento de inercia? Aplicar el teorema del eje paralelo.
I = Icm + mL2
¿Qué puedo decir sobre el teorema del eje perpendicular que no sea interesante. Se aplica solo a objetos laminares. No he necesitado usarlo mucho.,
Iz = Ix + Iy
la mejor manera de aprender a hacer esto es por ejemplo. Muchos ejemplos.,15e0″>