géométrie non euclidienne et jeux

le terme « non euclidien” est souvent utilisé par les joueurs (développeurs de jeux, journalistes, etc. désigne tout type de jeu où l’espace ne fonctionne pas exactement comme dans notre monde. Alors que de tels jeux ont généralement tendance à être étonnants et très amusants, ce n’est pas ce que « non euclidien” signifie traditionnellement pour les mathématiciens, pour qui il a une signification plus précise, qui n’est pas « quelque chose qui n’est pas un espace parfaitement normal”. Cet article fournit un résumé de ce que « non euclidien” signifie, Et les différentes géométries étranges utilisées dans les jeux.,

la découverte de la géométrie non euclidienne est l’un des moments les plus célèbres, surprenants et fous de l’histoire des mathématiques. C’est quelque chose que beaucoup de grands penseurs pendant plus de 2000 ans croyaient ne pas exister (non seulement dans le monde réel, mais aussi dans les mondes fantastiques)., Tant d’expositions populaires de mathématiques discutant de la géométrie non euclidienne ont été créées que le terme est à juste titre entré dans la conscience du grand public, comme quelque chose d’extrêmement étranger, important, fou et difficile à comprendre. En général, quelque chose d’extrêmement cool!

récemment, le terme « géométrie non euclidienne” a été approprié par certains développeurs de jeux pour tout type d’espace de jeu qui fonctionne d’une manière différente de la nôtre., C’est malheureux, car les joueurs sont attirés par de tels jeux, pensant « Hé, enfin j’aurai une chance de comprendre cette chose étrange et importante dont tous ces mathématiciens étaient fous! », ce qui est loin d’être la vérité —alors que ces jeux sont généralement très cool, ils sont généralement basés sur des concepts relativement simples qui n’ont rien à voir avec la chose originale.

Euclide a montré comment tout en Géométrie (théorème de Pythagore, etc.,) pourrait être dérivé d’un petit ensemble de postulats très simples… mais il y avait une chose dont il n’était pas heureux: son cinquième postulat, qui n’était pas en fait aussi simple: si un segment de droite Coupe deux droites formant deux angles intérieurs du même côté qui totalisent moins de deux angles droits, alors les deux droites, si elles sont prolongées indéfiniment, se rencontrent de ce côté sur lequel les angles totalisent moins de deux angles droits.. Euclide croyait que son cinquième postulat pourrait être prouvé à partir des autres, et il a échoué, et de nombreux mathématiciens à travers les âges., Le mystère a été résolu au 19ème siècle.

je suis résolu à publier un travail sur parallels dès que je pourrai le mettre en ordre, le compléter, et l’occasion se présentera. Je n’ai pas encore fait la découverte mais le chemin que j’ai suivi est presque certain de me conduire à mon but, à condition que cet objectif soit possible. Je ne l’ai pas encore mais j’ai trouvé les choses si magnifiques que j’en ai été stupéfait. Ce serait une pitié éternelle si ces choses étaient perdues comme vous, mon cher père, êtes obligé de l’admettre quand vous les avez vues. Tout ce que je peux dire c’est que j’ai créé un nouveau monde à partir de rien., Tout ce que je vous ai envoyé jusqu’à présent est comme un château de cartes comparé à une tour. – János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky et Gauss ont créé un nouveau monde, où tous les postulats D’Euclide tiennent sauf le cinquième, montrant ainsi que le cinquième postulat ne pouvait pas être prouvé à partir des autres. Puisque Euclide croyait qu’une telle chose ne pouvait pas exister, elle a été appelée par la géométrie non euclidienne de Gauss.

Aujourd’hui, nous appelons cette géométrie hyperbolique, alors que la géométrie (bidimensionnelle) non euclidienne pourrait être hyperbolique ou sphérique., Une sphère est courbée dans la troisième dimension; nous disons qu’elle a une courbure positive constante. (La surface de la Terre est une bonne approximation, bien que la courbure ne soit pas exactement constante: elle est légèrement plus plate sur les pôles.) La géométrie euclidienne a une courbure 0, tandis que la géométrie hyperbolique a une courbure négative constante.,

Vous pouvez facilement dire si vous êtes dans un monde non euclidien de la manière suivante:

• Recherchez des lignes parallèles. En géométrie euclidienne, ils sont à une distance constante les uns des autres., En géométrie sphérique, elles convergent, et en géométrie hyperbolique, ils divergent.
• Regarder les angles d’un triangle. En géométrie euclidienne, ils totalisent jusqu’à 180 degrés. En géométrie sphérique, ils se résument à plus (par exemple, prenez le pôle Nord et deux sommets de l’Équateur comme sommets). En géométrie hyperbolique, ils se résument à moins.
• Un moyen facile de savoir si un jeu utilise vraiment une géométrie non euclidienne est de rechercher des rectangles., En géométrie non euclidienne, il n’y a pas de rectangles, tout ce qui ressemble un peu à un rectangle a en fait ses angles inférieurs à 90 degrés, ou ses bords sont incurvés. Donc, si vous voyez des rectangles, le jeu n’est (probablement) pas non euclidien.
• En géométrie Euclidienne, un cercle de rayon r a périmètre 2nr. En géométrie sphérique, c’est 2nsin(r) (qui est borné), et en géométrie hyperbolique, c’est 2nsinh(r) (qui croît exponentiellement). Dans un monde hyperbolique tridimensionnel avec « unité absolue » de 1m, une boule de rayon 100m aura un volume plus grand que l’Univers observable!,
• dans les jeux et simulations 3D vraiment Non euclidiens, la parallaxe fonctionne différemment. Dans L’espace euclidien, les choses qui sont loin de vous (Étoiles, montagnes lointaines) sont vues à peu près au même endroit que vous vous déplacez. Cela change dans les géométries non euclidiennes: dans l’espace hyperbolique, tout bouge, tandis que d’autres géométries non euclidiennes sont encore plus étranges.

jouez à notre HyperRogue pour explorer un monde non euclidien et obtenir des intuitions sur le fonctionnement de la géométrie non euclidienne. Le gameplay principal est conçu pour le plan hyperbolique, mais vous pouvez également expérimenter avec d’autres géométries 2D et 3D.,

Manifolds

Les Jeux prétendant être non euclidiens ont généralement des mondes obtenus en effectuant une sorte de « chirurgie”: nous découpons des fragments (chambres) dans un espace euclidien, puis les collons ensemble d’une manière non standard. Dans les jeux 3D, l’endroit où nous avons effectué la chirurgie ressemble généralement à un portail, mais le jeu peut également rendre la chirurgie transparente., Mathématiquement, cela s’appelle un collecteur euclidien (ou plat) (avec limite); euclidien/plat parce qu’il est fait de fragments D’espace euclidien, et « avec limite” parce qu’il y a généralement des murs que vous ne pourriez pas traverser, et certains points à l’intérieur de tels murs ne pourraient même pas être modélisés de manière cohérente (murs des portails). Il est également possible d’avoir des collecteurs sans limite; généralement, ceux-ci ressemblent à des espaces périodiques.

de tels jeux sont probablement appelés Non euclidiens parce que leur géométrie est impossible à interpréter de manière cohérente comme faisant partie d’un monde similaire au nôtre., Dans un Euclidienne monde, quand vous allez à 10m, tourner de 90 degrés à droite, aller 10m, tourner de 90 degrés à droite, aller 10m, tourner de 90 degrés à droite, aller à 10m, et tourner de 90 degrés à droite, vous revenez à votre point de départ et l’orientation. Dans une variété (et aussi dans la géométrie non euclidienne comme décrit ci-dessus), il est possible de se retrouver dans un point différent. (Un excellent exemple de ceci est le projet VR Tea for God, où le monde VR que vous explorez est énorme, tandis que dans le monde réel, vous marchez simplement dans une petite pièce., Il est également possible de faire une boucle qui vous ramène à votre point de départ à l’intérieur du collecteur, mais serait différent dans Euclidienne monde. Cependant, ce n’est pas ce que la géométrie non euclidienne signifie pour un mathématicien. La chirurgie modifie la topologie de l’espace, mais elle ne change pas sa géométrie.

dans un collecteur, vous pouvez parfois trouver des triangles dont les angles se résument à autre chose que 180 degrés, ou des lignes parallèles qui cessent d’être proches lorsque l’un d’eux traverse un portail., Cependant, dans un monde vraiment non euclidien, ces phénomènes se produisent même pour de très petits triangles, et pour chaque paire de lignes. Des effets comme cette animation n’ont pas pu être obtenus à l’aide de portails — en géométrie non euclidienne, il est possible de voir tout le Pentagone à angle droit à la fois, tandis qu’avec les portails, l’un des cinq angles droits sera toujours caché derrière un portail.

un moyen facile (mais limité) d’implémenter un collecteur dans un jeu est de créer des dispositifs de téléportation invisibles, qui téléportent le joueur de manière transparente vers un autre endroit qui ressemble exactement au même., Cette technique fonctionne dans n’importe quel moteur de jeu (même dans Minecraft). J’ai vu de nombreux commentaires sous des vidéos utilisant cette technique disant « ce n’est pas non euclidien, vous utilisez simplement des téléports! »Ces commentaires ont raison de dire que ce n’est pas non euclidien au sens mathématique, mais l’utilisation de téléports n’a rien à voir avec cela. En général, je trouve ce sentiment bizarre. C’est l’effet qui compte, pas la façon dont il est mis en œuvre. Tout jeu vidéo est une illusion, après tout.

bien sûr, nous pourrions aussi le faire en commençant par un espace non euclidien, en obtenant une variété non euclidienne., Les manifolds hyperboliques sont généralement bornés, donc ils perdent leur croissance exponentielle (et, selon la conception du jeu, cette croissance exponentielle peut être un énorme problème technique); cependant, les lignes parallèles et les triangles fonctionnent toujours différemment.

lorsque la distance n’est pas la métrique euclidienne

j’ai vu certaines personnes affirmer que tous les jeux joués sur des grilles carrées sont non euclidiens., En effet, dans un tel jeu, le nombre de pas que vous devez faire pour atteindre le point (x,y) à partir du point (0,0) est donné par la formule |x|+|y| (métrique dite taxicab) ou max(|x|, |y|) (métrique dite Chebyshev), ou une autre formule où l’ensemble des points en d étapes est un octogone, tandis que le théorème de Pythagore dit que la distance entre ces deux points est en fait la racine carrée de x2+y2 (métrique dite euclidienne). De même, on pourrait dire Qu’HyperRogue n’est pas hyperbolique, puisqu’il s’agit d’un jeu basé sur une grille.,

en fait, nous n’avons pas vraiment besoin d’une grille pour ce problème: si vous jouez à un jeu de haut en bas avec un espace continu à l’aide du clavier, vous pouvez généralement vous déplacer dans huit directions, de sorte que la distance sera toujours donnée par l’une des formules ci-dessus. Donc, cela rendrait beaucoup de jeux non euclidiens.

cela semble être à nouveau une confusion découlant du fait que plusieurs choses portent le nom D’Euclide. « Non euclidien » signifie que L’axiome parallèle D’Euclide n’est pas satisfait, pas que la métrique est différente de la métrique euclidienne., Les jeux basés sur la grille ne sont normalement pas perçus par les gens comme quelque chose de bizarre, et cela est attendu, car de nombreuses propriétés importantes de ces espaces sont similaires à celles des espaces continus. Les lignes parallèles dans une grille carrée fonctionnent comme dans la géométrie euclidienne, tandis que les grands murs en HyperRogue fonctionnent comme des lignes droites en géométrie hyperbolique. Une grille carrée se développe quadratiquement, tout comme le plan euclidien, tandis que le monde HyperRogue se développe exponentiellement. Et ainsi de suite., Un phénomène assez impressionnant se produit lorsque vous simulez la propagation des effets sur une grille carrée — par exemple, vous simulez un transfert de chaleur (dans le temps 0, un point de la grille est très chaud et vous laissez la chaleur se propager à d’autres points), ou une marche aléatoire (dans le temps 0, Il y a beaucoup de particules en un point Même s’il peut sembler à première vue que les vagues devraient se répandre en formes carrées ou octogonales (à cause de la grille de structure), elles sont en fait parfaitement circulaires!, Cela se produit sur toute grille suffisamment symétrique sur le plan euclidien, mais sera différent dans les autres grilles!

artistes associés à la géométrie non euclidienne

M. C. Escher a créé de nombreuses œuvres d’art basées sur des géométries impossibles, qui ont à leur tour inspiré de nombreux jeux étonnants. Si vous lisez Qu’Escher a utilisé la géométrie non euclidienne, c’est vrai, il a utilisé la géométrie non euclidienne dans sa série de limites de cercle. Cependant, si un jeu vous rappelle par exemple, Ascendant et descendant, Cascade, relativité, profondeur, ou un autre monde II, Eh bien, ces œuvres n’ont pas grand-chose à voir avec la géométrie non euclidienne. Les termes couramment utilisés pour ces espaces comprennent l’espace impossible / géométrie ou Escheresque.

un autre artiste communément associé à la géométrie non euclidienne est H. P., Lovecraft: surfaces trop grandes pour appartenir à quelque chose de juste ou de propre pour cette terre la géométrie du lieu de rêve qu’il a vu était anormale, non euclidienne, et répugnant répugnant des sphères et des dimensions en dehors de la nôtre on ne pouvait pas être sûr que la mer et le sol étaient horizontaux, d’où la position relative un angle qui était aigu, mais qui se comportait comme s’il était obtus. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) ces descriptions sont très vagues, mais elles décrivent certains des sentiments d’un profane qui explore assez bien une simulation non euclidienne, même étonnamment bien étant donné le fait que Lovecraft n’avait pas accès à de telles simulations: il mentionne qu’il y a quelque chose de très étrange dans les angles dans R’lyeh, et vous obtenez ce sentiment dans une simulation non euclidienne, tandis que dans les jeux utilisant « non euclidien” dans un sens non mathématique, les angles semblent la plupart du temps normaux; ils rappellent plus le joueur des architectures impossibles D’Escher que r’lyeh., Cet article explore cela plus en détail.

jeux et démos interactives utilisant la géométrie non euclidienne

• notre HyperRogue-un jeu roguelike se déroulant dans le plan hyperbolique (c’est — à-dire la géométrie hyperbolique bidimensionnelle). Cela utilise un plan hyperbolique (sans aucune chirurgie topologique ou frontière), de sorte que son monde est plus grand que No Man’s Sky, MineCraft, ou quoi que ce soit euclidien.
• Bringris-notre jeu de blocs de chute non euclidien (similaire à Tetris), fait avec le moteur HyperRogue.
• Cube de Rubik MagicTile, mais dans les variétés 2D non euclidiennes.,
• labyrinthe hyperbolique — un labyrinthe dans un collecteur 2D hyperbolique.
• Hypernom — ceci utilise la géométrie sphérique tridimensionnelle.
• Polychora uniforme-géométrie sphérique plus tridimensionnelle.
• non euclidienne VR (H3)-c’est la géométrie hyperbolique tridimensionnelle. Voir aussi H2xR (hyperbolique dans certaines dimensions et Euclidienne dans d’autres dimensions) et une nouvelle version.
• notre crochet virtuel – une démonstration en géométrie sphérique tridimensionnelle.
• espaces courbes-voler à travers les variétés non euclidiennes tridimensionnelles.,
• jeux hyperboliques – jeux simples dans les manifolds hyperboliques 2D.
• HyperSweeper — dragueur de mines dans le plan hyperbolique.
• Sokyokuban — comme Sokoban dans le plan hyperbolique, jouable dans un navigateur. Holonomy qui le rend intéressant. (Voir aussi ceci pour un autre puzzle basé sur l’holonomie.)

jeux en développement

récemment, il y a plusieurs projets de jeux non euclidiens cool en développement!

• Hypermine — C’est un Minecraft-comme dans l’espace hyperbolique en trois dimensions., Les captures d’écran dans la galerie sont assez impressionnantes, et le développement progresse assez bien! (mise à jour: malheureusement, le développement va lentement récemment: ()
• HyperBlock — un autre Minecraft-like. Cela utilise la géométrie H2xR, c’est-à-dire un plan hyperbolique avec la coordonnée ‘z’ fonctionnant de manière euclidienne.
• Hyperbolica — un jeu non euclidien en développement. La bande-annonce montre la géométrie hyperbolique et un peu de géométrie sphérique., Contrairement à HyperRogue, Hypermine et Hyperbolica qui sont axés sur le gameplay dans un monde infini, il semble être plus d’un jeu basé sur l’histoire, avec la marche, puzzle, éléments de tir, et des graphismes plus grand public. (Le soleil dans l’espace hyperbolique ne fonctionne pas comme il est montré dans la bande-annonce — il devrait devenir visiblement plus lumineux à mesure que nous avançons vers lui – mais j’espère qu’il sera changé:)
• billard non euclidien en VR – l’idée de mapper une vraie table carrée à angle droit à un pentagone à angle droit hyperbolique, ou,
• enfin et surtout, HyperRogue est également en développement —son moteur non euclidien et son monde unique sont un excellent terrain de test pour diverses expériences avec des genres de jeux ou d’autres géométries étranges, et les résultats de ces expériences sont ajoutés au jeu. En changeant les options, vous pouvez obtenir quelque chose de complètement différent du roguelike d’origine dans le plan hyperbolique.Vous pouvez expérimenter avec la géométrie sphérique, divers collecteurs sans limite, des géométries 3D, y compris des géométries non isotropes; roguelites, courses, puzzles, etc.,
• Spaceflux-les vidéos existantes montrent la « géométrie fractale », mais les plans de la page kickstarter mentionnent la géométrie hyperbolique et même la géométrie non isotrope (Solv).

exemples de jeux notables joués sur des collecteurs

• Asteroids (1979) — lorsque vous traversez le bord est du monde, vous apparaissez sur le bord ouest; de même pour le nord ou l’Ouest. Il s’agit d’un collecteur plat à deux dimensions sans limite (appelé tore plat).
• Pac-Man (1980) — comme des astéroïdes., Dans la plupart des versions, vous ne pouvez passer que par le bord E-W mais pas par le bord N-S, ce qui en fait un cylindre (un collecteur avec limite).
• la Civilisation (1991) — comme mentionné ci-dessus, la surface d’une sphère est non-Euclidienne. C’est pourquoi il est impossible de faire une carte plate de la Terre qui ne déforme rien. Malheureusement, la plupart des jeux se déroulant sur une planète sphérique ne prennent pas en compte cette géométrie non euclidienne; ils prennent une carte plate et prétendent que cette carte n’a pas de distorsions., La civilisation se joue sur un cylindre (vous ne pouvez pas passer par un pôle, alors que dans le monde réel, le vol le plus court d’Europe à Hawaï passerait par le pôle Nord). Certains autres jeux sont joués sur des tores plats, ce qui est en quelque sorte encore plus différent d’une sphère.
• Portal (2007) – une fois que vous placez des portails, le monde devient un collecteur avec des limites.
• Collecteur de Jardin (2019) — il utilise le terme de « collecteur” correctement. Je ne l’ai pas encore joué, il semble que ce soit surtout un tore plat tridimensionnel (c’est-à-dire,, un collecteur plat tridimensionnel sans limite), mais il a aussi des portails.
• Fragments D’Euclide, vecteur de paradoxe — ces jeux sont sur des variétés euclidiennes Escheresques. Escheresque comme dans la relativité D’Escher ou un autre monde: les directions ne sont pas cohérentes. Fragments of Euclid est un jeu de puzzle tandis que Paradox Vector est un FPS.
• Maquette (à paraître en 2020) semble être un jeu avec des portails, où une extrémité du portail peut être plus grande que l’autre extrémité, et par conséquent les objets peuvent devenir plus grands ou plus petits après avoir traversé le portail., Mirror stage (2009) est une idée similaire en 2D; Voir Aussi La Tombe de Sierpiński. Il est également possible d’avoir des portails où une extrémité est un carré et l’autre extrémité est un rectangle, provoquant l’étirement des objets par des portails (Voir Aussi mon ancienne Démo basée sur une idée similaire). Ce n’est plus une variété euclidienne, mais plutôt une variété affine (nous pourrions l’appeler une « variété similaire” si seule la mise à l’échelle est autorisée, mais ce terme ne semble pas être utilisé)., La géométrie Affine / similaire est différente de la géométrie euclidienne (le 3ème axiome devient vide de sens) mais elle n’est toujours pas appelée non euclidienne, car les lignes parallèles ne sont pas affectées.

autres jeux remarquables qui sont géométriquement étranges

• Antichamber — ce jeu est probablement responsable de la popularisation de l’utilisation mathématiquement incorrecte du terme « non euclidien”. Il s’agit principalement d’un collecteur euclidien (avec limite), mais présente également des effets qui ne se produiraient pas dans un collecteur (par exemple, vous vous retrouvez dans un endroit différent lorsque vous faites quelques pas et retour)., Je crois que presque toutes les choses étranges dans Antichamber pourraient être (et ont probablement été) implémentées avec l’astuce de téléportation décrite ci-dessus.
• jeux en quatre dimensions. Certaines personnes peuvent penser que ces jeux ne sont pas euclidiens, car quatre dimensions spatiales ne correspondraient pas à notre monde tridimensionnel. Cependant, un monde qui fonctionne comme notre ancien espace euclidien tridimensionnel, sauf qu’il a plus de dimensions, est toujours définitivement euclidien (selon la définition)., Il est bien sûr possible d’avoir un espace non euclidien à quatre dimensions, mais au moment de l’écriture, il semble qu’aucun jeu n’ait essayé de l’implémenter.
• astuces de Perspective, telles que Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya’s Quest ou Perspective. Superlimal a quelques aspects de perspective et de « variété affine ». Ces jeux sont étranges et cool, mais ne devraient pas non plus être appelés Non euclidiens. Je qualifierais certains D’Escheresques.

vidéos prétendant être non euclidien (correctement ou non)

• Not Knot-une vidéo classique mettant en vedette la géométrie 3D non euclidienne.,
• réalité virtuelle non euclidienne – c’est non euclidien au sens mathématique.
• notre Temple de Cthulhu en 3D — les” carrés  » sont en fait courbés. À première vue, il semble que ce monde se compose d’une séquence de balles de plus en plus petites. En fait, ces” boules  » sont des horosphères (une forme de la géométrie hyperbolique qui n’a pas vraiment D’analogue euclidien; fait intéressant, alors que le monde 3D ici est non euclidien, la géométrie de l’horosphère est euclidienne), et elles sont toutes infinies., (plus de vidéos similaires)
• notre SolvRogue —alors qu’en deux dimensions nous n’avons que des géométries sphériques, euclidiennes et hyperboliques, il existe des géométries non euclidiennes encore plus étranges en trois dimensions. Allez ici pour plus d’.
• moteur des mondes Non euclidiens – cette vidéo commence par Circle Limit de M. C. Escher, qui est en effet basé sur la géométrie non euclidienne (hyperbolique). Cependant, la plupart de la vidéo présente un vieux collecteur affine simple avec limite.
• « Non! Euclid! »GPU Ray Tracer obtient une mise à niveau! – c’est assez intéressant, car il s’agit en effet d’un espace incurvé, Non basé sur la chirurgie.,

Merci à Henry Segerman d’avoir suggéré des améliorations, et à tous les développeurs qui tentent de créer ces expériences géométriques de mindbending!