Nicht-euklidische Geometrie und Spiele

Der Begriff „nicht-euklidisch“ wird häufig von Spielern (Spieleentwicklern, Journalisten usw.) verwendet.) um jede Art von Spiel zu bedeuten, wo der Raum nicht genau wie in unserer Welt funktioniert. Während solche Spiele in der Regel erstaunlich und sehr lustig sind, bedeutet“ nicht-euklidisch „traditionell nicht für Mathematiker, für die es eine genauere Bedeutung hat, was nicht“etwas ist, das kein ganz normaler Raum ist“. Dieser Artikel enthält eine Zusammenfassung dessen, was“ nicht-euklidisch “ bedeutet, und die verschiedenen seltsamen Geometrien in Spielen verwendet.,

Die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie ist einer der berühmtesten, überraschendsten und verrücktesten Momente in der Geschichte der Mathematik. Es ist etwas, von dem viele große Denker seit mehr als 2000 Jahren glaubten, dass es nicht existiert (nicht nur in der realen Welt, sondern auch in Fantasiewelten)., So viele populäre Ausstellungen der Mathematik, die nicht-euklidische Geometrie diskutieren, wurden geschaffen, dass der Begriff zu Recht als etwas äußerst Fremdes, Wichtiges, Verrücktes und schwer zu Verstehendes in das allgemeine öffentliche Gewissen eingegangen ist. Im Allgemeinen etwas extrem Cooles!

In letzter Zeit wurde der Begriff „nicht-euklidische Geometrie“ von einigen Spieleentwicklern für jede Art von Spielraum verwendet, der anders funktioniert als unserer., Das ist bedauerlich, da die Spieler von solchen Spielen angezogen werden und denken: „Hey, endlich werde ich die Chance haben, diese seltsame und wichtige Sache zu verstehen, worüber all diese Mathematiker verrückt waren!“, das ist bei weitem nicht die Wahrheit —während diese Spiele sind in der Regel sehr cool, sie basieren in der Regel auf relativ einfachen Konzepten, die nichts mit der ursprünglichen Sache zu tun haben.

Euklid hat gezeigt, wie alles in der geometrie (Satz von Pythagoras, etc.,) könnte aus einem kleinen Satz sehr einfacher Postulate abgeleitet werden… aber es gab eine Sache, über die er nicht glücklich war: sein fünftes Postulat, das eigentlich nicht so einfach war: Wenn ein Liniensegment zwei gerade Linien schneidet, die zwei Innenwinkel auf derselben Seite bilden, die sich summieren weniger als zwei rechte Winkel, dann treffen sich die beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, auf dieser Seite, auf der sich die Winkel summieren weniger als zwei rechte Winkel.. Euklid glaubte, dass sein fünftes Postulat von den anderen bewiesen werden könnte, und er scheiterte, und so taten es viele Mathematiker im Laufe der Jahrhunderte., Das Rätsel wurde im 19. Jahrhundert gelöst.

Ich bin entschlossen, ein Werk über Parallelen zu veröffentlichen, sobald ich es in Ordnung bringen, vervollständigen und die Gelegenheit ergibt. Ich habe die Entdeckung noch nicht gemacht, aber der Weg, dem ich gefolgt bin, wird mich mit ziemlicher Sicherheit zu meinem Ziel führen, vorausgesetzt, dieses Ziel ist möglich. Ich habe es noch nicht, aber ich habe die Dinge so großartig gefunden, dass ich erstaunt war. Es wäre ein ewiges Mitleid, wenn diese Dinge verloren gingen, wie du, mein lieber Vater, zugeben musst, als du sie gesehen hast. Alles, was ich jetzt sagen kann, ist, dass ich aus dem Nichts eine neue und andere Welt geschaffen habe., Alles, was ich dir bisher geschickt habe, ist wie ein Kartenhaus im Vergleich zu einem Turm. — János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky und Gauss haben eine neue Welt geschaffen, in der alle Postulate von Euklid außer dem fünften enthalten sind, was zeigt, dass das fünfte Postulat nicht von den anderen bewiesen werden konnte. Da Euklid glaubte, dass so etwas nicht existieren könnte, wurde es von Gauss nicht-euklidische Geometrie genannt.

Heute nennen wir diese hyperbolische Geometrie, während (zweidimensionale) nicht-euklidische Geometrie hyperbolisch oder sphärisch sein könnte., Eine Kugel ist in der dritten Dimension gekrümmt; Wir sagen, sie hat eine konstante positive Krümmung. (Die Erdoberfläche ist eine gute Annäherung, obwohl die Krümmung nicht genau konstant ist: Sie ist etwas flacher an den Polen.) Die euklidische Geometrie hat eine Krümmung 0, während die hyperbolische Geometrie eine konstante negative Krümmung aufweist.,

Auf folgende Weise können Sie leicht feststellen, ob Sie sich in einer nicht-euklidischen Welt befinden:

• Suchen Sie nach parallelen Linien. In der euklidischen Geometrie sind sie in einem konstanten Abstand voneinander., In der sphärischen Geometrie konvergieren sie und in der hyperbolischen Geometrie divergieren sie.
• betrachten Sie die Winkel eines Dreiecks. In der euklidischen Geometrie summieren sie sich auf 180 Grad. In der Kugelgeometrie summieren sie sich zu mehr (nehmen Sie beispielsweise den Nordpol und zwei Eckpunkte am Äquator als Eckpunkte). In der hyperbolischen Geometrie summieren sie sich zu weniger.
• Eine einfache Möglichkeit zu erkennen, ob ein Spiel wirklich nicht-euklidische Geometrie verwendet, besteht darin, nach Rechtecken zu suchen., In der nicht-euklidischen Geometrie gibt es keine Rechtecke, alles, was ein bisschen wie ein Rechteck aussieht, hat tatsächlich seine Winkel kleiner als 90 Grad oder seine Kanten sind gekrümmt. Wenn Sie also Rechtecke sehen, ist das Spiel (wahrscheinlich) nicht nicht euklidisch.
• In der euklidischen Geometrie hat ein Kreis mit Radius r den Umfang 2nr. In der sphärischen Geometrie ist es 2nsin (r) (das begrenzt ist), und in der hyperbolischen Geometrie ist es 2nsinh (r) (das exponentiell wächst). In einer dreidimensionalen hyperbolischen Welt mit einer „absoluten Einheit“ von 1 m hat eine Kugel mit einem Radius von 100 m ein größeres Volumen als das beobachtbare Universum!,
• In wirklich nicht-euklidischen 3D-Spielen und Simulationen funktioniert die Parallaxe anders. Im euklidischen Raum werden Dinge, die weit von dir entfernt sind (Sterne, ferne Berge), ungefähr an der gleichen Stelle gesehen, an der du dich bewegst. Dies ändert sich in nicht-euklidischen Geometrien: Im hyperbolischen Raum bewegt sich alles, während andere nicht-euklidische Geometrien noch seltsamer sind.

Spielen Sie unseren HyperRogen, um eine nicht-euklidische Welt zu erkunden und einige Intuitionen darüber zu bekommen, wie nicht-euklidische Geometrie funktioniert. Das Hauptspiel ist für die hyperbolische Ebene konzipiert, Sie können aber auch mit anderen 2D-und 3D-Geometrien experimentieren.,

Manifolds

Spiele, die behaupten, nicht euklidisch zu sein, werden normalerweise durch eine Art „Operation“ erhalten: Wir schneiden einige Fragmente (Kammern) aus einem euklidischen Raum und kleben sie dann auf nicht standardisierte Weise zusammen. In 3D-Spielen sieht der Ort, an dem wir operiert haben, normalerweise wie ein Portal aus, aber das Spiel kann die Operation auch nahtlos erscheinen lassen., Mathematisch wird dies als euklidischer (oder flacher) Verteiler (mit Grenze) bezeichnet; Euklidisch/flach, weil es aus Fragmenten des euklidischen Raums besteht, und „mit Grenze“, weil es typischerweise einige Wände gibt, die man nicht durchlaufen kann, und einige Punkte innerhalb solcher Wände konnten nicht einmal konsistent modelliert werden (Wände der Portale). Es ist auch möglich, Manifolds ohne Grenze zu haben; typischerweise sehen diese wie periodische Räume aus.

Solche Spiele werden wahrscheinlich als nicht-euklidisch bezeichnet, da ihre Geometrie nicht konsistent als Teil einer Welt interpretiert werden kann, die unserer ähnlich ist., In einer euklidischen Welt, wenn Sie 10m gehen, 90 Grad nach rechts drehen, 10m gehen, 90 Grad nach rechts drehen, 10m gehen, 90 Grad nach rechts drehen, 10m gehen und 90 Grad nach rechts drehen, kehren Sie zu Ihrem Ausgangspunkt und Ihrer Orientierung zurück. In einer Mannigfaltigkeit (und auch in der nicht-euklidischen Geometrie wie oben beschrieben) ist es möglich, an einem anderen Punkt zu enden. (Ein großartiges Beispiel dafür ist das VR-Projekt Tea for God, bei dem die VR-Welt, die Sie erkunden, riesig ist, während Sie in der realen Welt nur in einem kleinen Raum hin und her gehen.,) Ist es auch möglich, eine Schleife zu erstellen, die bringt Sie wieder zu Ihrem Ausgangspunkt zurück innerhalb der vielfältigen, aber anders wäre euklidischen Welt. Dies ist jedoch nicht das, was nicht-euklidische Geometrie für einen Mathematiker bedeutet. Die Operation ändert die Topologie des Raums, ändert jedoch nicht seine Geometrie.

In einem Verteiler finden Sie manchmal Dreiecke, deren Winkel sich auf etwas anderes als 180 Grad summieren, oder parallele Linien, die aufhören, nahe zu sein, wenn einer von ihnen durch ein Portal geht., In einer wirklich nicht-euklidischen Welt treten diese Phänomene jedoch auch für sehr kleine Dreiecke und für jedes Linienpaar auf. Effekte wie diese Animation konnten mit Portalen nicht erzielt werden — in der nicht-euklidischen Geometrie ist es möglich, das gesamte rechtwinklige Fünfeck gleichzeitig zu sehen, während bei Portalen immer einer der fünf rechten Winkel hinter einem Portal verborgen ist.

Eine einfache (aber begrenzte) Möglichkeit, ein Spiel in einem Spiel zu implementieren, besteht darin, unsichtbare Teleportationsgeräte herzustellen, die den Spieler nahtlos an einen anderen Ort teleportieren, der genau gleich aussieht., Diese Technik funktioniert in grundsätzlich jeder Spiel-Engine (auch in Minecraft). Ich habe viele Kommentare unter Videos mit dieser Technik gesehen, die besagen: „Dies ist nicht nicht euklidisch, Sie verwenden nur Teleports!“Diese Kommentare sind richtig, dass dies im mathematischen Sinne nicht euklidisch ist, aber die Verwendung von Teleports hat nichts damit zu tun. Im Allgemeinen finde ich dieses Gefühl seltsam. Es ist der Effekt, der zählt, nicht wie es umgesetzt wird. Jedes Videospiel ist schließlich eine Illusion.

Natürlich könnten wir dies auch tun, beginnend mit nicht-euklidischem Raum, um eine nicht-euklidische Mannigfaltigkeit zu erhalten., Hyperbolische Mannigfaltigkeiten sind typischerweise begrenzt, daher verlieren sie ihr exponentielles Wachstum (und je nach Spieldesign kann dieses exponentielle Wachstum ein großes technisches Problem sein); Parallele Linien und Dreiecke funktionieren jedoch immer noch anders.

Wenn die Entfernung nicht die euklidische Metrik ist

Ich habe gesehen, dass einige Leute argumentieren, dass alle Spiele, die auf quadratischen Gittern gespielt werden, nicht euklidisch sind., Dies liegt daran, dass in einem solchen Spiel die Anzahl der Schritte, die Sie ausführen müssen,um den Punkt (x, y) vom Punkt (0,0) aus zu erreichen, durch die Formel |x|+|y| (sogenannte Taxicab-Metrik) oder max(|x|, |y|) (sogenannte Chebyshev-Metrik) oder eine andere Formel angegeben wird, bei der die Menge der Punkte in d-Schritten ein Achteck ist, während der Satz von Pythagoras besagt, dass der Abstand zwischen diesen beiden Punkten tatsächlich die Quadratwurzel von x2+y2 (sogenannte euklidische Metrik) ist. Ebenso könnte man sagen, dass HyperRogue nicht hyperbolisch ist, da es sich um ein Grid-basiertes Spiel handelt.,

Tatsächlich benötigen wir für dieses Problem kein Raster: Wenn Sie ein Top-Down-Spiel mit durchgehendem Leerzeichen über die Tastatur spielen, können Sie sich normalerweise in acht Richtungen bewegen, sodass der Abstand immer noch durch eine der obigen Formeln angegeben wird. Das würde also viele Spiele nicht euklidisch machen.

Dies scheint wiederum eine Verwirrung zu sein, die sich aus mehreren Dingen ergibt, die nach Euklid benannt sind. „Nicht-euklidisch“ bedeutet, dass das parallele Axiom von Euklid nicht erfüllt ist, nicht dass sich die Metrik von der euklidischen Metrik unterscheidet., Grid-basierte Spiele werden normalerweise von Menschen nicht als etwas Seltsames wahrgenommen, und dies wird erwartet, da viele wichtige Eigenschaften dieser Räume denen von kontinuierlichen Räumen ähnlich sind. Parallele Linien in einem quadratischen Gitter funktionieren wie in der euklidischen Geometrie, während große Wände in HyperRogue wie gerade Linien in der hyperbolischen Geometrie funktionieren. Ein quadratisches Gitter wächst quadratisch, genau wie die euklidische Ebene, während die HyperRogue-Welt exponentiell wächst. Und so weiter., Ein ziemlich beeindruckendes Phänomen tritt auf, wenn Sie simulieren, wie sich Effekte auf einem quadratischen Gitter ausbreiten — zum Beispiel simulieren Sie die Wärmeübertragung (mit der Zeit 0 ist ein Punkt des Gitters sehr heiß und Sie lassen die Wärme auf andere Punkte ausbreiten) oder zufälliger Spaziergang (mit der Zeit 0 befinden sich viele Partikel in einem Punkt des Gitters, und dann bewegt sich jeder von ihnen zufällig). Obwohl es auf den ersten Blick so aussieht, als ob sich die Wellen in quadratischen oder achteckigen Formen ausbreiten sollten (aufgrund des Strukturgitters), sind sie tatsächlich perfekt kreisförmig!, Dies geschieht auf jedem ausreichend symmetrischen Gitter auf der euklidischen Ebene, unterscheidet sich jedoch in anderen Gittern!

Künstler, die mit nicht-euklidischer Geometrie assoziiert sind

M. C. Escher hat viele großartige Kunstwerke geschaffen, die auf unmöglichen Geometrien basieren, was wiederum viele erstaunliche Spiele inspiriert hat. Wenn Sie lesen, dass Escher nicht-euklidische Geometrie verwendet hat, ist dies wahr, er hat nicht-euklidische Geometrie in seiner Kreisgrenzreihe verwendet. Wenn Sie jedoch an ein Spiel erinnern, z., Aufsteigend und absteigend, Wasserfall, Relativität, Tiefe oder ein anderer Zweiter Weltkrieg, nun, diese Kunstwerke haben nicht viel mit nicht-euklidischer Geometrie zu tun. Häufig verwendete Begriffe für solche Räume sind impossible space / geometry oder Escheresque.

Ein anderer Künstler, der häufig mit nicht-euklidischer Geometrie assoziiert wird, ist H. P., Lovecraft: Oberflächen zu groß, um zu irgendetwas zu gehören, das für diese Erde richtig oder richtig ist Die Geometrie des Traumplatzes, den er sah, war abnormal, nicht euklidisch und abscheulich von Kugeln und Dimensionen abgesehen von unseren konnte man nicht sicher sein, ob das Meer und der Boden horizontal waren, Daher schien die relative Position von allem anderen phantasmal variabel zu sein. ein Winkel, der scharf war, sich aber so benahm, als wäre er stumpf. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Diese Beschreibungen sind sehr vage, aber sie beschreiben einige der Gefühle, die ein Laie hat, wenn er eine nicht-euklidische Simulation ziemlich gut erforscht, sogar erstaunlich gut, wenn man bedenkt, dass Lovecraft keinen Zugang zu solchen Simulationen hatte: Er erwähnt, dass es in R ‚ Lyeh etwas sehr Seltsames an Winkeln gibt, und man bekommt dieses Gefühl in einer nicht-euklidischen Simulation, während in Spielen, die „nicht-euklidisch“ in einer nicht-mathematischen Bedeutung verwenden, Die Winkel größtenteils normal aussehen; Sie erinnern den Spieler mehr an Eschers unmögliche architekturen als R ‚ Lyeh., Dieser Artikel untersucht dies genauer.

Spiele und interaktive Demos mit nicht-euklidischer Geometrie

• unser HyperRogue — ein Roguelike-Spiel, das in der hyperbolischen Ebene stattfindet (dh zweidimensionale hyperbolische Geometrie). Dies verwendet eine hyperbolische Ebene (ohne topologische Chirurgie oder Grenze), so dass ihre Welt größer ist als der Himmel, die Erde oder irgendetwas Euklidisches.
• Bringris-unser nicht-euklidisches fallendes Blockspiel (ähnlich Tetris), das mit der HyperRogue-Engine erstellt wurde.
• Magiktile-wie Rubik ‚ s Cube, aber in nicht-euklidischen 2D Manifolds.,
• Hyperbolic Maze-ein Labyrinth in einem hyperbolischen 2D-Manifold.
• Hypernom-dies verwendet dreidimensionale Kugelgeometrie.
• Einheitliche Polychora-mehr dreidimensionale Kugelgeometrie.
• Nicht-euklidische Geometrie (H3) — das ist dreidimensionale hyperbolische Geometrie. Siehe auch H2xR (hyperbolisch in einigen Dimensionen und euklidisch in anderen Dimensionen) und eine neue Version.
• unser virtuelles Häkeln-eine Demo in dreidimensionaler sphärischer Geometrie.
• Curved Spaces-fliegen Sie durch dreidimensionale nicht-euklidische Mannigfaltigkeiten.,
• Hyperbolische Spiele, einfache Spiele in 2D hyperbolischen Mannigfaltigkeiten.
• HyperSweeper-Minensucher in hyperbolischer Ebene.
• Sokyokuban-Sokoban-wie in der hyperbolischen Ebene, spielbar in einem Browser. Holonomie macht es interessant. (Siehe auch dieses für ein anderes Puzzle basierend auf Holonomie.)

Spiele in der Entwicklung

In letzter Zeit gibt es mehrere coole nicht-euklidische Spieleprojekte in der Entwicklung!

• Hypermine — das ist ein Minecraft-like im dreidimensionalen hyperbolischen Raum., Die Screenshots in der Galerie sind ziemlich beeindruckend und die Entwicklung schreitet recht gut voran! (update: Leider läuft die Entwicklung in letzter Zeit langsam : ( )
• HyperBlock-ein weiterer Minecraft-like. Dies verwendet die H2xR-Geometrie, dh eine hyperbolische Ebene mit der ‚z‘ – Koordinate, die euklidisch arbeitet.
• Hyperbolica — ein nicht-euklidisches Spiel in der Entwicklung. Der Trailer zeigt hyperbolische Geometrie und ein bisschen sphärische Geometrie., Im Gegensatz zu HyperRogue, Hypermine und Hyperbolica, die sich auf das Gameplay in einer unendlichen Welt konzentrieren, scheint es eher ein Story-basiertes Spiel mit Walking, Puzzle, Shooting-Elementen und Mainstream-Grafiken zu sein. (Die Sonne im hyperbolischen Raum funktioniert nicht so, wie sie im Trailer gezeigt wird — sie sollte sichtbar heller werden, wenn wir uns darauf zubewegen — aber hoffentlich wird sie geändert 🙂
• Nicht-euklidisches Billard in VR — die Idee, einen echten rechtwinkligen quadratischen Tisch einem hyperbolischen rechtwinkligen Fünfeck oder sphärischen rechtwinkligen Dreieck zuzuordnen, ist sehr cool!,
• Nicht zuletzt ist HyperRogue auch in der Entwicklung —seine nicht-euklidische Engine und einzigartige Welt ist ein großartiges Testgelände für verschiedene Experimente mit Spielgenres oder anderen seltsamen Geometrien, und die Ergebnisse dieser Experimente werden dem Spiel hinzugefügt. Durch Ändern der Optionen können Sie etwas völlig anderes als das ursprüngliche Roguelike in der hyperbolischen Ebene erhalten.Sie können mit sphärischer Geometrie, verschiedenen Verteilern ohne Grenze, 3D-Geometrien, einschließlich nicht-isotroper Geometrien, Rogueliten, Rennen, Puzzles usw. experimentieren.,
• Spaceflux-Die vorhandenen Videos zeigen „fraktale Geometrie“, aber die Pläne auf der Kickstarter-Seite erwähnen hyperbolische Geometrie und sogar nicht-isotrope Geometrie (Solv).

Beispiele für bemerkenswerte Spiele, die auf Mannigfaltigkeiten gespielt werden

• Asteroiden (1979) — Wenn Sie durch den östlichen Rand der Welt gehen, erscheinen Sie am westlichen Rand.ähnlich für Nord oder West. Dies ist ein zweidimensionaler flacher Verteiler ohne Grenze (flacher Torus genannt).
• Pac-Man (1980) — wie Asteroiden., In den meisten Versionen können Sie nur durch die E-W-Kante gehen, aber nicht durch die N-S-Kante, so dass es ein Zylinder (ein Verteiler mit Grenze).
• Civilization (1991)-wie oben erwähnt, ist die Oberfläche einer Kugel nicht euklidisch. Deshalb ist es unmöglich, eine flache Karte der Erde zu erstellen, die nichts verzerrt. Leider berücksichtigen die meisten Spiele, die auf einem kugelförmigen Planeten stattfinden, diese nicht-euklidische Geometrie nicht; Sie nehmen eine flache Karte und geben vor, dass diese Karte keine Verzerrungen aufweist., Zivilisation wird auf einem Zylinder gespielt (Sie können nicht durch einen Pol gehen, während in der realen Welt der kürzeste Flug von Europa nach Hawaii durch den Nordpol gehen würde). Einige andere Spiele werden auf Flat Tori gespielt, was sich in gewissem Sinne noch mehr von einer Kugel unterscheidet.
• Portal (2007) – Sobald Sie einige Portale platzieren, wird die Welt zu einer Welt mit Grenzen.
• Manifold Garden (2019) – es verwendet den Begriff „manifold“ richtig. Ich habe es noch nicht gespielt, es scheint meistens ein dreidimensionaler flacher Torus zu sein (dh,, eine dreidimensionale flache (ohne Grenze), aber es hat auch einige Portale.
• Fragmente von Euklid, Paradox Vektor-diese Spiele sind auf Escheresque euklidischen Mannigfaltigkeiten. Escheresque wie in Eschers Relativitätstheorie oder einer anderen Welt: Die Richtungen sind nicht konsistent. Fragments of Euclid ist ein Puzzlespiel, während Paradox Vector ein FPS ist.
• Maquette (erscheint 2020) scheint ein Spiel mit Portalen zu sein, bei dem ein Ende des Portals größer als das andere Ende sein kann und folglich Objekte nach dem Durchlaufen des Portals größer oder kleiner werden können., Mirror stage (2009)ist eine ähnliche Idee in 2D; siehe auch Sierpińskis Grab. Es ist auch möglich, Portale zu haben, bei denen ein Ende ein Quadrat und das andere Ende ein Rechteck ist, wodurch die Objekte von Portalen gestreckt werden (siehe auch meine alte Demo basierend auf einer ähnlichen Idee). Dies ist keine euklidische Mannigfaltigkeit mehr, sondern eine affine (wir könnten es eine „ähnliche Mannigfaltigkeit“ nennen, wenn nur Skalierung erlaubt ist, aber dieser Begriff scheint nicht verwendet zu werden)., Affine / ähnliche Geometrie unterscheidet sich von der euklidischen Geometrie (das Axiom wird bedeutungslos), wird aber immer noch nicht als nicht-euklidisch bezeichnet, da parallele Linien nicht betroffen sind.

Andere bemerkenswerte Spiele, die geometrisch seltsam sind

• Antichamber — dieses Spiel ist wahrscheinlich dafür verantwortlich, die mathematisch falsche Verwendung des Begriffs „nicht-euklidisch“zu popularisieren. Dies ist meistens eine euklidische Mannigfaltigkeit (mit Grenze), zeigt aber auch einige Effekte, die in einer Mannigfaltigkeit nicht auftreten würden (z. B. landen Sie an einem anderen Ort, wenn Sie einige Schritte und zurück gehen)., Ich glaube, dass fast alle seltsamen Dinge in Antichamber mit dem oben beschriebenen Teleportationstrick implementiert werden konnten (und wahrscheinlich auch wurden).
• Vierdimensionale Spiele. Manche Leute mögen diese Spiele als nicht-euklidisch betrachten, weil vier räumliche Dimensionen nicht in unsere dreidimensionale Welt passen würden. Eine Welt, die genau wie unser alter dreidimensionaler euklidischer Raum funktioniert, mit der Ausnahme, dass sie mehr Dimensionen hat, ist jedoch immer noch definitiv euklidisch (gemäß Definition)., Es ist natürlich möglich, einen vierdimensionalen nicht-euklidischen Raum zu haben, aber zum Zeitpunkt des Schreibens scheint kein Spiel versucht zu haben, dies zu implementieren.
• Perspektive tricks, wie Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya ‚ s Quest oder Perspektive. Superliminal hat einige perspektivische und „affine“ Aspekte. Diese Spiele sind seltsam und cool, sollten aber auch nicht als nicht-euklidisch bezeichnet werden. Ich würde einige von ihnen Escheresque nennen.

Videos, die behaupten, nicht euklidisch zu sein (richtig oder nicht)

• Not Knot-ein klassisches Video mit nicht euklidischer 3D — Geometrie.,
• Nicht-euklidische virtuelle Realität — das ist nicht-euklidische im mathematischen Sinne.
• unser Tempel von Cthulhu in 3D — die „Quadrate“ sind tatsächlich gekrümmt. Auf den ersten Blick scheint es, dass diese Welt aus einer Folge von kleineren und kleineren Kugeln besteht. Tatsächlich sind diese „Kugeln“ Horosphären (eine Form aus der hyperbolischen Geometrie, die kein euklidisches Analogon hat; interessanterweise ist die Geometrie auf der Horosphäre euklidisch, während die 3D-Welt hier nicht euklidisch ist), und sie sind alle unendlich., (weitere ähnliche Videos)
• unsere Intrige-während wir in zwei Dimensionen nur sphärische, euklidische und hyperbolische Geometrie haben, gibt es sogar seltsamere nicht-euklidische Geometrien in drei Dimensionen. Gehen Sie hier für mehr.
• Nicht-euklidische Welten-Engine-dieses Video beginnt mit Circle Limit von M. C. Escher, das in der Tat auf nicht-euklidischer (hyperbolischer) Geometrie basiert. Das meiste Video zeigt jedoch eine einfache alte affine Manifold mit Grenze.
• “ Nein! Euklid!“GPU-Ray-Tracer bekommt ein upgrade! — das ist ziemlich interessant, denn dies ist in der Tat ein gekrümmter Raum, der nicht auf einer Operation basiert.,

Vielen Dank an Henry Segerman für den Vorschlag von Verbesserungen und an alle Entwickler, die versuchen, diese mindbending geometric Experiences zu erstellen!