Nie-euklidesowa geometria i gry

termin „nie-euklidesowa” jest często używany przez graczy (twórców gier, dziennikarzy itp.) oznacza każdy rodzaj gry, w której przestrzeń nie działa dokładnie tak, jak w naszym świecie. Podczas gdy takie gry zazwyczaj wydają się być niesamowite i bardzo zabawne, to nie jest to, co” nie-Euklidesowe „tradycyjnie oznacza dla matematyków, dla których ma bardziej precyzyjne znaczenie, które nie jest „niczym, co nie jest zupełnie normalną przestrzenią”. Ten artykuł zawiera podsumowanie tego, co oznacza” nie-Euklidesowe ” i różne dziwne geometrie używane w grach.,

odkrycie geometrii Nie-euklidesowej jest jednym z najbardziej znanych, zaskakujących i szalonych momentów w historii matematyki. Jest to coś, co wielu wielkich myślicieli przez ponad 2000 lat uważało, że nie istnieje (nie tylko w świecie rzeczywistym, ale także w światach fantasy)., Powstało tak wiele popularnych wykładów matematyki omawiających geometrię Nieeuklidesową, że termin ten słusznie wszedł do świadomości ogółu społeczeństwa, jako coś niezwykle obcego, ważnego, szalonego i trudnego do zrozumienia. Ogólnie rzecz biorąc, coś bardzo fajnego!

Ostatnio termin „geometria nie-euklidesowa” został przez niektórych twórców gry przywłaszczony dla każdego rodzaju przestrzeni gier, która działa w inny sposób niż nasza., To niefortunne, ponieważ gracze są przyciągani do takich gier, myśląc: „Hej, w końcu będę miał szansę zrozumieć tę dziwną i ważną rzecz, na której wszyscy ci matematycy szaleli!”, co nie jest bliskie prawdy —chociaż te gry są zazwyczaj bardzo fajne, zazwyczaj opierają się na stosunkowo prostych koncepcjach, które nie mają nic wspólnego z oryginałem.

Euklides pokazał, jak wszystko w geometrii (Twierdzenie Pitagorasa itp.,) może być wyprowadzony z małego zbioru bardzo prostych postulatów… ale nie był zadowolony z jednej rzeczy: jego piąty postulat, który w rzeczywistości nie był tak prosty: jeśli odcinek linii przecina dwie proste linie tworzące dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie, które są mniejsze niż dwa kąty proste, to dwie linie, jeśli są rozciągnięte w nieskończoność, spotykają się po tej stronie, na której kąty są mniejsze niż dwa kąty proste.. Euklid wierzył, że jego piąty postulat może zostać udowodniony na podstawie innych i nie powiódł się, podobnie jak wielu matematyków na przestrzeni wieków., Zagadka została rozwiązana w XIX wieku.

jestem zdecydowany opublikować pracę na parallels, jak tylko będę mógł ją uporządkować, ukończyć i nadarzy się okazja. Nie dokonałem jeszcze odkrycia, ale ścieżka, którą podążałem jest prawie pewna, że doprowadzi mnie do mojego celu, pod warunkiem, że ten cel jest możliwy. Jeszcze go nie mam, ale znalazłem rzeczy tak wspaniałe, że byłem zdumiony. Byłoby wieczną szkoda, gdyby te rzeczy zostały utracone, jak ty, mój drogi ojcze, musisz przyznać, gdy je zobaczysz. Wszystko, co mogę teraz powiedzieć, to to, że stworzyłem nowy i inny świat z niczego., Wszystko, co wam do tej pory wysłałem, jest jak domek z kart w porównaniu z wieżą. – János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky i Gauss stworzyli nowy świat, w którym wszystkie postulaty Euklidesa trzymają się z wyjątkiem piątego, pokazując tym samym, że piątego postulatu nie można udowodnić od pozostałych. Ponieważ Euklides wierzył, że takie coś nie może istnieć, został nazwany przez Gaussa geometrii nieeuklidesowej.

dziś nazywamy tę geometrię hiperboliczną, podczas gdy (dwuwymiarowa) geometria nieeuklidesowa może być hiperboliczna lub sferyczna., Kula jest zakrzywiona w trzecim wymiarze; mówimy, że ma stałą dodatnią krzywiznę. (Powierzchnia Ziemi jest dobrym przybliżeniem, choć krzywizna nie jest dokładnie stała: jest nieco bardziej płaska na biegunach.) Geometria euklidesowa ma krzywiznę 0, natomiast geometria hiperboliczna ma stałą krzywiznę ujemną.,

możesz łatwo stwierdzić, czy znajdujesz się w świecie nie-Euklidesowym na następujące sposoby:

• poszukaj równoległych linii. W geometrii euklidesowej znajdują się one w stałych odległościach od siebie., W geometrii sferycznej są zbieżne, a w geometrii hiperbolicznej-rozbieżne.
• spójrz na kąty trójkąta. W geometrii euklidesowej sumują się do 180 stopni. W geometrii sferycznej sumują się do większej liczby (na przykład weźmy Biegun Północny i dwa wierzchołki na równiku jako wierzchołki). W geometrii hiperbolicznej sumują się do mniej.
• łatwym sposobem, aby stwierdzić, czy gra używa prawdziwie nieeuklidesowej geometrii, jest szukanie prostokątów., W geometrii nieeuklidesowej nie ma prostokątów, wszystko, co wygląda trochę jak prostokąt, ma swoje kąty mniejsze niż 90 stopni, lub jego krawędzie są zakrzywione. Tak więc, jeśli widzisz prostokąty, gra nie jest (prawdopodobnie) nie-euklidesowa.
• w geometrii euklidesowej okrąg o promieniu r ma obwód 2nr. W geometrii sferycznej jest to 2nsin (r) (który jest ograniczony), a w geometrii hiperbolicznej jest to 2nsinh (r) (który rośnie wykładniczo). W trójwymiarowym hiperbolicznym świecie z „absolutną jednostką” 1m, kula o promieniu 100m będzie miała większą objętość niż obserwowalny Wszechświat!,
• w prawdziwie Nieeuklidesowych grach i symulacjach 3D paralaksa działa inaczej. W przestrzeni euklidesowej rzeczy, które są daleko od Ciebie (Gwiazdy, odległe góry) są widziane mniej więcej w tym samym miejscu, w którym się poruszasz. To zmienia się w geometrii nie-euklidesowej: w przestrzeni hiperbolicznej wszystko się porusza, podczas gdy inne geometrie nie-Euklidesowe są jeszcze dziwniejsze.

Zagraj w nasz HyperRogue, aby zbadać świat nie-Euklidesowy i uzyskać intuicję na temat działania geometrii nie-euklidesowej. Główna rozgrywka jest przeznaczona dla płaszczyzny hiperbolicznej, ale można również eksperymentować z innymi geometriami 2D i 3D.,

Rozmaitości

gry, które twierdzą, że nie są Euklidesowe, zazwyczaj mają światy uzyskane przez wykonanie jakiejś „operacji”: wycinamy niektóre fragmenty (komory) z przestrzeni euklidesowej, a następnie sklejamy je ze sobą w niestandardowy sposób. W grach 3D miejsce, w którym wykonywaliśmy operację, zazwyczaj wygląda jak portal, ale gra może również sprawić, że operacja będzie wyglądać bezproblemowo., Matematycznie nazywa się to kolektorem Euklidesowym (lub płaskim) (z granicą); euklidesowym / płaskim, ponieważ składa się z fragmentów przestrzeni euklidesowej, a „z granicą”, ponieważ zazwyczaj istnieją pewne ściany, przez które nie można przejść, a niektóre punkty wewnątrz takich ścian nie mogą być nawet konsekwentnie modelowane (ściany portali). Możliwe jest również posiadanie kolektorów bez granic; zazwyczaj wyglądają one jak przestrzenie okresowe.

takie gry są prawdopodobnie nazywane nie-Euklidesowymi, ponieważ ich geometria jest niemożliwa do spójnego zinterpretowania jako część świata podobnego do naszego., W świecie Euklidesowym, kiedy jedziesz 10 m, skręcasz o 90 stopni w prawo, jedziesz o 10 m, skręcasz o 90 stopni w prawo, jedziesz o 10 m, skręcasz o 90 stopni w prawo, jedziesz o 10 m i skręcasz o 90 stopni w prawo, wracasz z powrotem do punktu początkowego i orientacji. W Rozmaitości (a także w geometrii nieeuklidesowej, jak opisano powyżej) możliwe jest zakończenie w innym punkcie. (Doskonałym tego przykładem jest projekt VR Tea for God, w którym świat VR, który badasz, jest ogromny, podczas gdy w prawdziwym świecie po prostu spacerujesz tam iz powrotem po małym pokoju.,) Możliwe jest również zrobienie pętli, która doprowadzi Cię z powrotem do punktu wyjścia wewnątrz kolektora, ale byłaby inna w świecie Euklidesowym. Jednak to nie jest to, co geometria nie-euklidesowa oznacza dla matematyka. Operacja zmienia topologię przestrzeni, ale nie zmienia jej geometrii.

w kolektorze czasami można znaleźć Trójkąty, których kąty sumują się do czegoś innego niż 180 stopni, lub równoległe linie, które przestają być bliskie, gdy jeden z nich przechodzi przez portal., Jednak w prawdziwie nie-Euklidesowym świecie zjawiska te występują nawet dla bardzo małych trójkątów i dla każdej pary linii. Efektów takich jak ta animacja nie można było osiągnąć za pomocą portali — w geometrii nieeuklidesowej można zobaczyć cały Pentagon pod kątem prostym naraz, podczas gdy w przypadku portali jeden z pięciu kątów prostych zawsze będzie ukryty za portalem.

łatwym (ale ograniczonym) sposobem na zaimplementowanie kolektora w grze jest stworzenie niewidzialnych urządzeń teleportacyjnych, które bezproblemowo teleportują gracza w inne miejsce, które wygląda dokładnie tak samo., Ta technika działa w zasadzie w każdym silniku gry (nawet w Minecrafcie). Widziałem wiele komentarzy pod filmami używającymi tej techniki, mówiąc: „to nie jest nie-Euklidesowe, po prostu używasz teleportów!”Te komentarze mają rację, że nie jest to nie-Euklidesowe w sensie matematycznym, ale używanie teleportów nie ma z tym nic wspólnego. Ogólnie uważam ten sentyment za dziwny. Liczy się efekt, a nie sposób jego realizacji. W końcu każda gra wideo jest iluzją.

oczywiście możemy to również zrobić zaczynając od przestrzeni nie-euklidesowej, uzyskując rozmaitość nie-euklidesową., Rozmaitości hiperboliczne są zazwyczaj ograniczone, przez co tracą swój wykładniczy wzrost (i, w zależności od projektu gry, ten wykładniczy wzrost może być ogromnym problemem technicznym); jednak równoległe linie i trójkąty nadal działają inaczej.

gdy odległość nie jest metryką euklidesową

widziałem, że niektórzy twierdzą, że wszelkie gry rozgrywane na kwadratowych siatkach są nieeuklidesowe., Dzieje się tak dlatego, że w takiej grze liczba kroków, które musisz wykonać,aby osiągnąć punkt (X, y) od punktu (0,0), jest określona wzorem |x|+|y| (tak zwana metryka taksówkowa) lub max(|x|, |y|) (tak zwana metryka Czebyszewa), lub innym wzorem, w którym zbiór punktów w krokach d jest ośmiokątem, podczas gdy twierdzenie Pitagorasa mówi, że odległość między tymi dwoma punktami jest w rzeczywistości pierwiastkiem kwadratowym x2+y2 (tak zwana Metryka euklidesowa).Metric). Podobnie można powiedzieć, że Hiperrogue nie jest hiperboliczny, ponieważ jest grą opartą na siatce.,

w rzeczywistości nie potrzebujemy siatki na ten problem: jeśli grasz z góry na dół gry z ciągłą przestrzenią za pomocą klawiatury, zwykle można poruszać się w ośmiu kierunkach, więc odległość nadal będzie podana przez jedną z powyższych formuł. Więc to sprawi, że wiele gier nie będzie euklidesowych.

wydaje się to być znowu zamieszanie wynikające z posiadania kilku rzeczy nazwanych po Euklidesie. „Nie-Euklidesowy” oznacza, że aksjomat równoległy Euklidesa nie jest spełniony, a metryka jest inna niż metryka euklidesowa., Gry oparte na siatce zwykle nie są postrzegane przez ludzi jako coś dziwnego, a tego się oczekuje, ponieważ wiele ważnych właściwości tych przestrzeni jest podobnych do tych ciągłych. Linie równoległe w siatce kwadratowej działają jak w geometrii euklidesowej, podczas gdy wielkie ściany w Hiperbolice działają jak linie proste w geometrii hiperbolicznej. Siatka kwadratowa rośnie kwadratowo, podobnie jak płaszczyzna euklidesowa, podczas gdy świat Hiperrogowy rośnie wykładniczo. I tak dalej., Dość imponujące zjawisko pojawia się, gdy symulujesz, jak efekty rozprzestrzeniają się na kwadratową siatkę — na przykład symulujesz przenoszenie ciepła (w czasie 0 jeden punkt siatki jest bardzo gorący i pozwalasz, aby ciepło rozprzestrzeniło się na inne punkty) lub losowy spacer (w czasie 0 w jednym punkcie siatki znajduje się wiele cząstek, a następnie każda z nich porusza się losowo). Chociaż na pierwszy rzut oka może się wydawać, że fale powinny rozchodzić się w kształcie kwadratu lub ośmiokąta (ze względu na siatkę struktury), są one w rzeczywistości idealnie okrągłe!, Dzieje się tak na dowolnej wystarczająco symetrycznej siatce na płaszczyźnie euklidesowej, ale będzie inaczej w innych siatkach!

artyści związani z geometrią nieeuklidesową

M. C. Escher stworzył wiele wspaniałych prac opartych na geometrii niemożliwej, co z kolei zainspirowało wiele niesamowitych gier. Jeśli przeczytasz, że Escher używał geometrii nie-euklidesowej, to jest to prawda, że używał geometrii nie-euklidesowej w swoim szeregu granicznym Okręgu. Jeśli jednak gra przypomina ci np., Ascending and Descdending, Waterfall, Relativity, Depth, or Another World II, cóż, te dzieła sztuki nie mają wiele wspólnego z geometrią nieeuklidesową. Często używane terminy dla takich przestrzeni to przestrzeń niemożliwa / geometria lub escheresque.

innym artystą powszechnie kojarzonym z geometrią nieeuklidesową jest H. P., Lovecraft: powierzchnie zbyt wielkie, aby należeć do jakiejkolwiek rzeczy właściwej lub właściwej dla tej ziemi geometria miejsca snu, które widział, była nienormalna, nieeuklidesowa i obrzydliwie czerwona ze sfer i wymiarów poza naszymi nie można było być pewnym, że morze i ziemia są poziome, stąd względna pozycja wszystkiego innego wydawała się fantasmagorycznie zmienna. kąt, który był ostry, ale zachowywał się tak, jakby był rozwarty. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) te opisy są bardzo niejasne, ale opisują niektóre z uczuć, jakie ma laik, gdy całkiem dobrze odkrywa nie-euklidesową symulację, nawet zdumiewająco dobrze biorąc pod uwagę fakt, że Lovecraft nie miał dostępu do takich symulacji: wspomina, że jest coś bardzo dziwnego w kątach w R ' lyeh, i masz to uczucie w nie-euklidesowej symulacji, podczas gdy w grach używających „nie-euklidesowej” w znaczeniu nie-matematycznym, kąty wyglądają w większości normalnie; przypominają graczowi bardziej niemożliwe architektury Eschera.niż R ' lyeh., Ten artykuł bada to bardziej szczegółowo.

Gry i interaktywne dema wykorzystujące geometrię nieeuklidesową

• nasz Hiperrogue-gra roguelike rozgrywająca się w płaszczyźnie hiperbolicznej (tj. dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej). Używa płaszczyzny hiperbolicznej (bez żadnej operacji topologicznej lub granicy), więc jej świat jest większy niż Niebo niczyje, MineCraft czy cokolwiek Euklidesowego.
• Bringris — nasza nieuklidesowa gra typu falling block (podobna do Tetrisa), stworzona na silniku HyperRogue.
• Magiczna-podobna do kostki Rubika, ale w nieeuklidesowych dwuwymiarowych kolektorach.,
• labirynt hiperboliczny-labirynt w kolektorze hiperbolicznym 2D.
• Hipernom-wykorzystuje on trójwymiarową geometrię sferyczną.
• Polichora jednorodna-bardziej trójwymiarowa geometria sferyczna.
• nie-euklidesowa geometria VR (H3) — jest to trójwymiarowa geometria hiperboliczna. Zobacz także H2xR (hiperboliczny w niektórych wymiarach i Euklidesowy w innych wymiarach) oraz nową wersję.
• nasze wirtualne szydełkowanie-demo w trójwymiarowej geometrii sferycznej.
• przestrzenie zakrzywione-przelatują przez trójwymiarowe nieeuklidesowe Rozmaitości.,
• gry hiperboliczne — proste gry w dwuwymiarowych kolektorach hiperbolicznych.
• HyperSweeper – Saper w płaszczyźnie hiperbolicznej.
• Sokyokuban-Sokoban-jak w płaszczyźnie hiperbolicznej, grywalny w przeglądarce. Holonomia czyni to interesującym. (Zobacz też to dla innej zagadki opartej na holonomii.)

gry w rozwoju

ostatnio w rozwoju jest kilka fajnych, nie euklidesowych projektów gier!

• Hypermine — jest to Minecraft-jak w trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej., Zrzuty ekranu w Galerii są dość imponujące, a rozwój postępuje całkiem dobrze! (update: niestety rozwój ostatnio idzie powoli: ()
• HyperBlock-kolejny Minecraft-podobny. Wykorzystuje to geometrię H2xR, czyli płaszczyznę hiperboliczną ze współrzędną ” z ” działającą w sposób Euklidesowy.
• Hyperbolica — nie-euklidesowa gra w rozwoju. Przyczepa pokazuje geometrię hiperboliczną i trochę geometrii sferycznej., W przeciwieństwie do HyperRogue, Hypermine i Hyperbolica, które koncentrują się na rozgrywce w nieskończonym świecie, wydaje się być bardziej grą fabularną, z chodzeniem, układanką, elementami strzelania i bardziej mainstreamową grafiką. (Słońce w przestrzeni hiperbolicznej nie działa tak, jak pokazano na zwiastunie — powinno stać się wyraźnie jaśniejsze w miarę zbliżania się do niego — ale mam nadzieję, że zostanie zmienione:)
• nie-Euklidesowy bilard w VR-pomysł odwzorowania prawdziwego kwadratowego stołu pod kątem prostym na hiperboliczny pentagon pod kątem prostym, lub sferyczny trójkąt pod kątem prostym, jest bardzo fajny!,
• wreszcie, HyperRogue jest również w fazie rozwoju —jego nie-Euklidesowy silnik i unikalny świat jest świetnym miejscem do testowania różnych eksperymentów z gatunkami gier lub innymi dziwnymi geometriami, a wyniki tych eksperymentów są dodawane do gry. Zmieniając opcje, możesz uzyskać coś zupełnie innego niż oryginalny roguelike w płaszczyźnie hiperbolicznej.Możesz eksperymentować z geometrią sferyczną, różnymi kolektorami bez granic, geometriami 3D, w tym nie izotropowymi; roguelitami, wyścigami, łamigłówkami i tak dalej.,
• Spaceflux-istniejące filmy pokazują „geometrię fraktalną”, ale plany na stronie Kickstartera wspominają geometrię hiperboliczną, a nawet nie-izotropową (Solv).

przykłady godnych uwagi gier rozgrywanych na kolektorach

• Asteroids (1979) — gdy przejdziesz przez wschodni kraniec świata, pojawisz się na zachodnim krańcu; podobnie jest w przypadku północnego lub zachodniego. Jest to dwuwymiarowy kolektor płaski bez granic (zwany torusem płaskim).
• PAC-Man (1980) — planetoida z pasa głównego asteroid., W większości wersji można przejść tylko przez krawędź E-W, ale nie przez krawędź N-S, co czyni ją cylindrem (kolektorem z granicą).
• Civilization (1991) – jak wspomniano powyżej, powierzchnia kuli nie jest euklidesowa. To dlatego nie da się zrobić płaskiej mapy Ziemi, która niczego nie zniekształca. Niestety, większość gier rozgrywających się na sferycznej planecie nie bierze pod uwagę tej Nie-euklidesowej geometrii; biorą płaską mapę i udają, że ta mapa nie ma zniekształceń., Cywilizacja jest rozgrywana na cylindrze (nie można przejść przez biegun, podczas gdy w świecie rzeczywistym najkrótszy lot z Europy na Hawaje przebiegałby przez Biegun Północny). Niektóre inne gry są rozgrywane na płaskim tori, który jest w pewnym sensie jeszcze bardziej różni się od kuli.
• Portal (2007) – po umieszczeniu niektórych portali świat staje się kolektorem z granicą.
• kolektor Ogród (2019) — używa terminu „kolektor” poprawnie. Jeszcze nie grałem, wygląda na to, że jest to w większości trójwymiarowy płaski torus (tj.,, trójwymiarowy kolektor płaski bez granic), ale ma też kilka portali.
• fragmenty Euklidesa, Wektor paradoksu — te gry znajdują się na escherowskich rozmaitościach euklidesowych. Escheresque jak w teorii względności Eschera czy w innym świecie: Kierunki nie są spójne. Fragments of Euclid to gra logiczna, podczas gdy Paradox Vector to FPS.
• Maquette (ma zostać wydana w 2020 roku) wydaje się być grą z portalami, w której jeden koniec portalu może być większy od drugiego, a co za tym idzie obiekty mogą stać się większe lub mniejsze po przejściu przez portal., Scena lustra (2009) to podobny pomysł w 2D; Zobacz też grób Sierpińskiego. Możliwe jest również posiadanie portali, w których jeden koniec to kwadrat, a drugi to prostokąt, co powoduje, że obiekty są rozciągane przez portale (Zobacz też moje stare demo oparte na podobnym pomyśle). Nie jest to już kolektor Euklidesowy, ale raczej afiniczny (możemy go nazwać „podobnym kolektorem”, jeśli dozwolone jest tylko skalowanie, ale termin ten nie wydaje się być używany)., Geometria afiniczna / podobna jest inna niż geometria euklidesowa (trzeci aksjomat staje się bezsensowny), ale nadal nie jest nazywana Nie-euklidesową, ponieważ linie równoległe nie są naruszone.

inne godne uwagi gry, które są geometrycznie dziwne

• Antichamber — ta gra jest prawdopodobnie odpowiedzialna za popularyzację matematycznie niepoprawnego użycia terminu „nie-Euklidesowy”. Jest to głównie kolektor Euklidesowy (z granicą), ale także wykazuje pewne efekty, które nie wydarzyłyby się w kolektorze (np. kończy się w innym miejscu, gdy idziesz kilka kroków i z powrotem)., Wierzę, że prawie wszystkie dziwne rzeczy w Antichamber mogły być (i prawdopodobnie zostały) zaimplementowane za pomocą opisanej powyżej sztuczki teleportacji.
• gry Czterowymiarowe. Niektórzy mogą myśleć o tych grach jako nie-euklidesowych, ponieważ cztery wymiary przestrzenne nie pasowałyby do naszego trójwymiarowego świata. Jednak świat, który działa tak samo jak nasza stara trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa, z tą różnicą, że ma więcej wymiarów, jest nadal zdecydowanie Euklidesowy (zgodnie z definicją)., Oczywiście możliwe jest posiadanie czterowymiarowej przestrzeni nieeuklidesowej, ale w momencie pisania tego tekstu wydaje się, że żadna gra nie próbowała tego zaimplementować.
• triki perspektywiczne, takie jak Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya ' s Quest, czy Perspective. Superliminal ma pewne aspekty perspektywiczne i „afiniczne”. Te gry są dziwne i fajne, ale nie powinny być nazywane nie-Euklidesowe albo. Niektóre z nich nazwałbym Escheresque.

Filmy twierdzące, że nie-Euklidesowe (poprawnie lub nie)

• nie-Knot — klasyczny film przedstawiający nie-euklidesową geometrię 3D.,
• nie-euklidesowa rzeczywistość wirtualna — jest to nie-euklidesowa w sensie matematycznym.
• nasza Świątynia Cthulhu w 3D — „kwadraty” są rzeczywiście zakrzywione. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że ten świat składa się z sekwencji mniejszych i mniejszych kulek. W rzeczywistości te „kulki” są horosferami (kształt z geometrii hiperbolicznej, który tak naprawdę nie ma analogu Euklidesowego; co ciekawe, podczas gdy świat 3D jest tutaj nie-Euklidesowy, geometria na horosferze jest euklidesowa)i wszystkie są nieskończone., (Więcej podobnych filmów)
• nasz SolvRogue-podczas gdy w dwóch wymiarach mamy tylko geometrię sferyczną, euklidesową i hiperboliczną, istnieją jeszcze dziwniejsze geometrie nieeuklidesowe w trzech wymiarach. Idź po więcej.
• Non-Euclidean Worlds engine — ten film zaczyna się od limitu Okręgu autorstwa M. C. Eschera, który jest rzeczywiście oparty na geometrii nie-Euclidean (hiperbolicznej). Jednak większość wideo przedstawia zwykły stary afiniczny kolektor z granicą.
• ” nie! Euclid!”GPU Ray Tracer dostaje upgrade! – to jest dość interesujące, ponieważ jest to rzeczywiście zakrzywiona przestrzeń, nie opiera się na chirurgii.,

podziękowania dla Henry ' ego Segermana za zaproponowanie ulepszeń i dla wszystkich programistów, którzy próbują stworzyć te magiczne geometryczne doświadczenia!