Diskussion
Einführung & Theorie
Logik hinter dem Trägheitsmoment: Warum brauchen wir das?
Definition für Punktkörper
I = mr2
Es ist eine skalare Größe (wie sein translationaler Cousin, Masse), hat aber ungewöhnlich aussehende Einheiten.
Sag es, Kilogramm Meter im Quadrat und sag es nicht zufällig anders.
Fügen Sie für eine Sammlung von Objekten einfach die Momente hinzu., Es funktioniert in dieser Hinsicht wie Masse, solange Sie Momente hinzufügen, die ungefähr auf derselben Achse gemessen werden.
I = ∑I = mr mr2
Ersetzen Sie bei einem ausgedehnten Körper die Summation durch ein Integral und die Masse durch eine infinitesimale Masse. Sie addieren (integrieren) alle Trägheitsmomente, die von den winzigen, winzigen Massen (dm) in beliebiger Entfernung (r) von der Achse, auf der sie liegen, beigetragen werden.,5e0″>
⌡
In der Praxis für Objekte mit gleichmäßiger Dichte (ρ = m/V) Sie so etwas tun…
| I = | Italien ⌡ |
r2 dm = | Italien ⌡ |
r2 ρ dV = | Italien ⌡ |
r2 | m | dV |
| V |
Für Objekte mit ungleichmäßige Dichte, ersetzen Sie die Dichte mit einer Dichte Funktion ρ(r).,
| I = | Italien ⌡ |
r2 dm = | Italien ⌡ |
r2 ρ(r) dV |
Der unendlich-Menge-dV ist ein teeny winziges Stück des ganzen Körpers. In der Praxis kann dies eine von zwei Formen annehmen (ist jedoch nicht auf diese beiden Formen beschränkt). Die Infinitesimalbox ist konzeptionell wahrscheinlich die einfachste. Stellen Sie sich vor, Sie würfeln das Objekt in Würfel.
Die Stücke sind dx breit, dy hoch und dz tief.,dz
Wenn ein Objekt ist im wesentlichen rechteckig, erhalten Sie so etwas wie dieses…
| I = | Italien Italien Italien ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) | m | – dx-dy-dz |
| V |
oder dieser…
| I = | Italien Italien Italien ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) ρ(x, y, z) dx dy dz |
Dies ist die Art und Weise zu finden, das Trägheitsmoment für Würfel, quader, Platten, Fliesen, Stäbe und andere rechteckige Zeug., Beachten Sie, dass, obwohl die strenge mathematische Beschreibung ein dreifaches Integral erfordert, für viele einfache Formen die tatsächliche Anzahl der Integrale, die durch Brute-Force-Analyse ausgearbeitet wurden, geringer sein kann. Manchmal sind die Integrale trivial.
Das andere einfache Volumenelement, mit dem gearbeitet werden kann, ist die infinitesimale Röhre. Stellen Sie sich einen Lauch vor.
Jede Schicht des Lauchs hat einen Umfang 2nr, Dicke dr und Höhe h.,objekte, Sie beginnen im Grunde mit so etwas…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | 2nrh dr |
| V |
oder diese…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) 2nrh dr |
Diese methode kann angewendet werden, um platten, rohre, rohre, zylinder, bleistifte, Papierrollen und vielleicht sogar Äste, Vasen und Lauch (wenn sie eine einfache mathematische Beschreibung haben).,
Wenn Formen komplizierter werden, aber geometrisch immer noch etwas einfach sind, zerlegen Sie sie in Stücke, die Formen ähneln, an denen bereits gearbeitet wurde, und addieren Sie diese bekannten Trägheitsmomente, um die Summe zu erhalten.
Itotal = I1 + I2 + I3 +…
Für etwas kompliziertere runde Formen müssen Sie möglicherweise zu einem Integral zurückkehren, dessen Schreibweise ich nicht sicher bin.,drical shells…
| I = | ⌠ ⌡ |
Icylindrical shell(r) dr |
oder dies für gestapelte Scheiben und Scheiben
| I = | ⌠ ⌡ |
Idisk oder washer(r) dr |
Diese Methoden können verwendet werden, um den Trägheitsmoment von Dingen wie Kugeln, Hohlkugeln, dünnen kugelförmigen Schalen und anderen exotischeren Formen wie Zapfen, Eimern und Eiern zu finden — im Grunde alles, was rollen könnte und das hat eine ziemlich einfache mathematische Beschreibung.,
Wenn Sie mit all dem fertig sind, erhalten Sie oft eine nette kleine Formel, die ungefähr so aussieht…
I = amr2
wobei α eine einfache rationale Zahl ist wie 1 für einen Reifen, ½ für einen Zylinder oder ⅖ für eine Kugel.
Was ist, wenn ein Objekt nicht um die Achse gedreht wird, mit der das Trägheitsmoment berechnet wird? Wenden Sie den Satz der parallelen Achse an.
I = Icm + mL2
Was kann ich über den Satz der senkrechten Achse sagen, außer es ist interessant. Es gilt nur für laminare Objekte. Ich musste es nicht viel benutzen.,
Iz = Ix + Iy
Der beste Weg, dies zu lernen, ist ein Beispiel. Viele Beispiele.,15e0″>