Leonhard Euler (Čeština)

Euler pracoval téměř ve všech oblastech matematiky, jako je geometrie, infinitezimální kalkul, trigonometrie, algebra a teorie čísel, stejně jako kontinua fyziky, lunární teorie a dalších oblastech fyziky. On je klíčovou postavou v historii matematiky; pokud je vytištěno jeho děl, z nichž mnohé mají zásadní zájem, mohla obsadit mezi 60 a 80 quarto svazků. Eulerovo jméno je spojeno s velkým počtem témat.,

Euler je jediný matematik mít dvě čísla po něm pojmenován: důležité Eulerovo číslo v kalkulu, e, rovná přibližně 2.71828, a Euler–Mascheroni konstantní γ (gama), někdy odkazoval se na jak jen „Eulerova konstanta“, přibližně rovná 0.57721. Není známo, zda je γ racionální nebo iracionální.

Matematické notaci

Euler zavedl a zpopularizoval několik notační konvence přes jeho četné a široce obíhal učebnice., Nejvíce pozoruhodně, on představil koncept funkce a byl první psát f(x) pro označení funkce f aplikována na argument x. On také představil moderní notace pro goniometrické funkce, dopis, e pro základ přirozeného logaritmu (nyní také známý jako Eulerovo číslo), řecké písmeno Σ pro součty a písmeno i značí imaginární jednotku. Použití řecké písmeno π, které udává poměr obvodu kruhu k jeho průměru byl také propagován Euler, i když to vzniklo s Velšský matematik William Jones.,

Analýzy

rozvoj infinitezimální kalkul byl v čele 18. století matematického výzkumu, a Bernoullis—rodina, přátelé Euler—byl zodpovědný pro hodně z počátku pokrok v této oblasti. Díky jejich vlivu se studium kalkulu stalo hlavním zaměřením Eulerovy práce. Zatímco některé Eulerovy důkazy nejsou přijatelné moderními standardy matematické přísnosti (zejména jeho spoléhání se na princip obecnosti algebry), jeho myšlenky vedly k mnoha velkým pokrokům.,Euler je dobře známý v analýze pro jeho časté používání a rozvoj mocninné řady, výraz funkce, jako jsou součty nekonečně mnoho podmínek, jako

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n ! ) . {\displaystyle E^{x}= \ sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \ over n!} = \lim _{n \to\infty} \ left ({\frac {1}{0!}} +{\frac {x}{1!}} + {\frac {x^{2}} {2!}} + \ cdots + {\frac {x^{n}} {n!}}\právo).}

Euler přímo prokázal rozšíření výkonové řady pro e a inverzní tangentní funkci., (Nepřímý důkaz prostřednictvím techniky inverzní série výkonu byl dán Newtonem a Leibnizem mezi lety 1670 a 1680.) Jeho odvážné použití síly série mu umožnila vyřešit slavný Basilejský problém v roce 1735 (za předpokladu, propracovanější argumentaci v roce 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler představil použití exponenciální funkce a logaritmu v analytické důkazy. Objevil způsoby, jak vyjádřit různé logaritmické funkce pomocí mocninné řady, a on úspěšně definovanými logaritmů záporných a komplexních čísel, čímž se výrazně rozšiřuje rozsah matematických aplikací logaritmu. On také definoval exponenciální funkci pro složitá čísla, a objevil jeho vztah k trigonometrickým funkcím., Pro jakékoli reálné číslo φ (za radiány) Eulerův vzorec uvádí, že složitá exponenciální funkce splňuje

e i φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle E^{I \ varphi } = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi .}

speciální případ výše uvedeného vzorce je známá jako Eulerova identita,

e jsem π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

volal „nejvíce pozoruhodný vzorec v matematice“ Richard P. Feynman, o jeho jediné použití pojmu sčítání, násobení, umocňování a rovnost, a jednotné použití důležité konstanty 0, 1, e, i a π., V roce 1988 čtenáři matematické inteligence hlasovali „nejkrásnější matematický vzorec vůbec“. Celkově byl Euler zodpovědný za tři z pěti prvních vzorců v této anketě.

de Moivreův vzorec je přímým důsledkem Eulerova vzorce.

Euler vypracoval teorii vyšších transcendentálních funkcí zavedením funkce gama a představil novou metodu pro řešení kvartických rovnic. Našel způsob, jak vypočítat integrály s komplexními limity, které předpovídají vývoj moderní komplexní analýzy., Vynalezl počet variací, včetně jeho nejznámějšího výsledku, Euler-Lagrangeova rovnice.

Euler propagoval použití analytických metod k řešení problémů teorie čísel. Přitom sjednotil dvě různorodé obory matematiky a představil nový studijní obor, analytickou teorii čísel. V lámání půdu pro toto nové pole, Euler vytvořil teorii hypergeometric série, q-series, hyperbolické goniometrické funkce a analytické teorie pokračovala frakce., Například, je prokázáno, nekonečnost prvočísel pomocí divergence harmonické řady, a on používá analytické metody získat nějaké pochopení, jak prvočísla jsou distribuovány. Eulerova práce v této oblasti vedla k rozvoji prvočíselné věty.

teorie čísel

Eulerův zájem o teorii čísel lze vysledovat k vlivu Christiana Goldbacha, jeho přítele v Petrohradské akademii. Mnoho Eulerovy rané práce na teorii čísel bylo založeno na dílech Pierra de Fermata. Euler vyvinul některé Fermatovy myšlenky a vyvrátil některé jeho domněnky.,

Euler spojil povahu prime distribuce s myšlenkami v analýze. Dokázal, že součet vzájemných hlasů prvočísel se liší. Při tom objevil spojení mezi funkcí Riemann zeta a prvočísly; toto je známé jako produktový vzorec Euler pro funkci Riemann zeta.

Euler dokázal, newtonovy identity, malá Fermatova věta, Fermatova věta o částky dvou čtverců, a on dělal odlišné příspěvky k Lagrange je čtyři-náměstí věta., On také vynalezl totient funkce φ(n), počet kladných celých čísel méně než nebo se rovná celé číslo n, které jsou coprime na n. Pomocí vlastnosti této funkce, on generalizované malá Fermatova věta k tomu, co je nyní známé jako Eulerova věta. Významně přispěl k teorii dokonalých čísel, která fascinovala matematiky od Euclid. Je prokázáno, že vztah prokázán mezi ještě ideální čísla a Mersenne prvočísla dříve prokázáno Euclid byl jeden-na-jeden, výsledek jinak známý jako Eukleidés–Eulerova věta., Euler také předpokládal zákon kvadratické reciprocity. Koncept je považován za základní věta z teorie čísel, a jeho myšlenky vydláždil cestu pro práci Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler dokázal, že 231 − 1 = 2,147,483,647 je Mersenne prime. Až do roku 1867 mohl zůstat největším známým premiérem.

teorie Grafů

v roce 1735 Euler představil řešení problému známého jako sedm mostů Königsbergu. Město Königsberg, Prusko bylo umístěno na řece Pregel a zahrnovalo dva velké ostrovy, které byly navzájem propojeny a pevninou sedmi mosty. Problém je rozhodnout, zda je možné sledovat cestu, která překročí každý most přesně jednou a vrátí se do výchozího bodu. Není to možné: neexistuje žádný Eulerův okruh. Toto řešení je považováno za první teorém teorie grafů, konkrétně rovinné teorie grafů.,

Euler také objevil vzorec V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2}, týkající se počtu vrcholů, hran a ploch konvexní mnohostěn, a proto rovinného grafu. Konstanta v tomto vzorci je nyní známá jako Eulerova charakteristika grafu (nebo jiného matematického objektu) a souvisí s rodem objektu. Studium a zobecnění tohoto vzorce, konkrétně Cauchy a L ‚ Huilier, je původem topologie.,

Aplikovaná matematika

Některé z Eulerovy největší úspěchy byly při řešení reálných problémů analyticky, a v popisu četné aplikace Bernoulliho čísel, Fourierova řada, Eulerova čísla, konstanty e a π, řetězové zlomky a integrály. On integrované Leibniz ‚ s diferenciální kalkul s Newtonova Metoda Fluxions, a vyvinuli nástroje, který dělal to jednodušší použít kalkul na fyzické problémy. Udělal velké pokroky ve zlepšování numerické aproximace integrálů, vymýšlet, co jsou nyní známé jako Eulerovy aproximace., Nejpozoruhodnější z těchto aproximací jsou Eulerova metoda a Euler-Maclaurinův vzorec. On také usnadnit použití diferenciálních rovnic, zejména zavedení Euler–Mascheroni konstanta:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

jedním z eulerových neobvyklejších zájmů bylo použití matematických myšlenek v hudbě., V roce 1739 napsal Tentamen novae theoriae musicae, doufat, že nakonec začlenit hudební teorie jako součást matematiky. Tato část jeho práce však neobdržela širokou pozornost a byla kdysi popsána jako příliš matematická pro hudebníky a příliš Hudební pro matematiky.

V roce 1911, téměř 130 let po Euler smrti, Alfred J. Lotka použita Eulerova práce k odvození Euler–Lotka rovnice pro výpočet míry růstu populace pro věkově strukturované populace, základní metoda, která se běžně používá v populační biologie a ekologie.,

fyzika a astronomie

Euler pomohl vyvinout Euler-Bernoulliho paprskovou rovnici, která se stala základním kamenem inženýrství. Kromě úspěšného uplatnění analytických nástrojů na problémy v klasické mechanice Euler tyto techniky aplikoval na nebeské problémy. Jeho práce v astronomii byla uznána několika cenami Pařížské akademie v průběhu své kariéry. Jeho úspěchy zahrnují s velkou přesností určení oběžných drah komet a jiných nebeských těles, pochopení povahy komet a výpočet paralaxy slunce., Jeho výpočty přispěly k rozvoji přesných tabulek zeměpisné délky.

Euler významně přispěl v optice. Nesouhlasil s Newtonovou korpuskulární teorií světla v Optickech, což byla tehdy převládající teorie. Jeho 1740s papíry na optiku pomohl zajistit, že vlnová teorie světla navržené Christiaan Huygens by se stala dominantní způsob myšlení, alespoň až rozvoj kvantové teorie světla.

V roce 1757 vydal důležitý soubor rovnic pro nevazký toku, které jsou nyní známé jako Eulerovy rovnice.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

, kde

• ρ je tekutina hustota hmoty,
• u je vektor rychlosti tekutiny, se složkami u, v, a w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) je celková energie na jednotku objemu, s e je vnitřní energie na jednotku hmotnosti tekutiny,
• p je tlak,
• ⊗ označuje tenzorový součin,
• 0, je nulový vektor.,

Euler je dobře známo, v structural engineering pro jeho vzorec dává kritické vzpěrné zatížení ideálního prutu, který závisí jen na jeho délce a ohybu, tvrdost:

F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

, kde

• F = maximální nebo kritické síly (vertikální zatížení na sloupec),
• E = modul pružnosti,
• I = plocha, moment setrvačnosti,
• L = nepodepřená délka sloupec,
• K = sloupec efektivní délka factor, jehož hodnota závisí na podmínkách end podporu sloupci, takto.,

pro oba konce připnuté (kloubové, volně se otáčející), k = 1.0. Pro oba konce Pevné, k = 0,50. Pro jeden konec pevný a druhý konec připnutý, k = 0.699 … pro jeden konec pevný a druhý konec volný pro pohyb bočně, k = 2.0.

• k L je efektivní délka sloupce.

logika

Euler je připočítán s použitím uzavřených křivek pro ilustraci syllogistické uvažování (1768). Tyto diagramy se staly známými jako Eulerovy diagramy.,

Euler diagram je schematické prostředky reprezentující množiny a jejich vztahy. Eulerovy diagramy se skládají z jednoduchých uzavřených křivek (obvykle kruhů) v rovině, které zobrazují sady. Každý Euler křivka rozděluje rovinu na dvě oblasti, nebo „zón“: interiér, který symbolicky představuje prvky sady, a vnější, která představuje všechny prvky, které nejsou členy klubu. Rozměry nebo tvary křivek nejsou důležité; význam diagramu je v tom, jak se překrývají., Prostorové vztahy mezi regiony ohraničené každé křivky (překrývají, zadržování nebo taky ne) odpovídá na set-teoretický vztahy (průniky, podmnožina a vykloubenost). Křivky, jejichž vnitřní zóny se neprotínají, představují disjunktní sady. Dvě křivky, jejichž vnitřní zóny protínají představují sady, které mají společné prvky; zóny uvnitř obou křivek představuje soubor prvků společné pro obě sady (průnik množin). Křivka, která je obsažena zcela uvnitř vnitřní zóny jiného, představuje její podmnožinu., Eulerovy diagramy (a jejich upřesnění-Venn diagramy) byly zařazeny jako součást výuky v oblasti teorie jako součást nové matematické hnutí v roce 1960. Od té doby, oni byly rovněž přijaty podle jiných osnov oblastech, jako je čtení.

Hudba

i když se jedná o hudbu, Eulerův přístup je hlavně matematický. Jeho spisy o hudbě nejsou příliš četné (několik set stran, v jeho celkové produkce o třicet tisíc stránek), ale odrážejí rané zaujetí a ten, který jej neopustila po celý jeho život.,

Euler vymyslel zvláštní graf, Zrcátko musicum, pro ilustraci diatonico-chromatická žánr, a diskutovali cesty v tomto grafu pro konkrétní intervaly, připomínající jeho zájem v Sedmi Mostů města Královce (viz výše). Zařízení vyvolalo obnovený zájem jako Tonnetz v Neo-Riemannian teorie (viz také Lattice (Hudba)).

Euler dále používá princip „exponent“ navrhnout odvození gradus suavitatis (stupeň příjemnost, přívětivost) intervaly a akordy z jejich hlavní faktory – jeden musí mít na paměti, že považuje jen intonace, tj., 1 a prvočísla 3 a 5 pouze. Vzorce byly navrhované rozšíření tohoto systému na libovolný počet prvočísel, např. ve formě

ds = Σ (kipi – ki) + 1

, kde pi jsou prvočísla a ki jejich exponenty.