Leonhard Euler (Dansk)

Euler arbejdede i næsten alle områder af matematik, så som geometri, infinitesimale geometri, trigonometri, algebra og talteori, samt kontinuum fysik, månens teori og andre områder af fysik. Han er en skelsættende tal i historien for matematik, hvis trykt, hans værker, hvoraf mange er af grundlæggende interesse, ville besætte mellem 60 og 80 kvarto mængder. Eulers navn er forbundet med et stort antal emner.,

Euler er den eneste matematiker, der har to tal opkaldt efter ham: den vigtige Eulers nummer i calculus, e, omtrent lig med 2.71828, og Euler–Mascheroni konstant γ (gamma) undertiden benævnt bare “Eulers konstant”, omtrent lig med 0.57721. Det vides ikke, om γ er rationel eller irrationel.

matematisk notation

Euler indført og populariseret flere notational konventioner gennem hans talrige og udbredte lærebøger., Mest bemærkelsesværdigt er det, at han indførte begrebet en funktion, og var den første til at skrive f(x) for at betegne funktionen f, der anvendes til at argumentet x. Han introducerede også den moderne notation for de trigonometriske funktioner, bogstavet e for bunden af den naturlige logaritme (nu også kendt som Eulers tal), det græske bogstav Σ for summations, og det brev jeg til at betegne den imaginære enhed. Brugen af det græske bogstav π til at betegne forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter blev også populariseret af Euler, skønt det stammer fra .alisisk matematiker .illiam Jones.,

Analyse

udvikling af infinitesimale calculus var på forkant af 18-tallet matematisk forskning, og Bernoullis—familie, venner af Euler—var ansvarlig for meget af den tidlige fremskridt på området. Takket være deres indflydelse, studere calculus blev det store fokus i Eulers arbejde. Mens nogle af Eulers beviser er ikke acceptabelt af moderne standarder for matematisk stringens (især hans afhængighed af princippet om almindeligheden af algebra), hans ideer førte til mange store fremskridt.,Euler er velkendt i analyse for sin hyppige brug og udvikling af Po !er series, udtrykket af funktioner som summer af uendeligt mange udtryk, såsom

e e = n n = 0!! n n! = lim n → ∞ (1 0 ! + 1 1 ! + 2 2 2 ! + ⋯ + n n n ! ) . {\displaystyle e^{{}= \ sum _{n=0}^{\infty } {^^{n} \ over n!} = \ lim _{n \ til \ infty } \ venstre ({\frac {1}{0!}} + {\frac {1}{1!}} + {\frac {2^{2}}{2!}hvad er der sket?}}\ret).}

Euler direkte bevist magt serien udvidelser for e og den inverse tangent funktion., (Indirekte bevis via inverse po .er serien teknik blev givet ved ne .ton og Leibni.mellem 1670 og 1680. Hans dristige brug af power serie, gjorde ham i stand til at løse den berømte Basel problem i 1735 (han har leveret en mere udførlig argumentation i 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n-2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler indført brug af den eksponentielle funktion, og logaritmer i analytisk beviser. Han opdagede måder at udtrykke forskellige logaritmiske funktioner ved hjælp af power-serien, og han med succes defineret logaritmer for negative og komplekse tal, hvilket i høj grad at udvide omfanget af matematiske anvendelser af logaritmer. Han har også defineret den eksponentielle funktion for komplekse tal, og opdagede sin relation til trigonometriske funktioner., For ethvert reelt tal φ (taget til at være radianer), Eulers formel hedder det, at den komplekse eksponentiel funktion opfylder

e i = = cos + + + i sin⁡.. det er en god id., at du har brug for at vide, hvad du skal gøre.}

Et særligt tilfælde af den ovenstående formel er kendt som Eulers identitet,

e jeg π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

kaldt “den mest bemærkelsesværdige formel i matematik” af Richard P. Feynman, for den enkelte bruger af begreberne addition, multiplikation, eksponentiering, og ligestilling, og den enkelte bruger af de vigtige konstanter 0, 1, e, i og π., I 1988 stemte læsere af den matematiske Intelligencer det “den smukkeste matematiske formel nogensinde”. I alt, Euler var ansvarlig for tre af de fem bedste formler i denne meningsmåling.

de Moivre ‘ s formel er en direkte konsekvens af Eulers formel.

Euler udarbejdet teorien om højere transcendentale funktioner ved at indføre gamma-funktionen og indført en ny metode til løsning af quaruartic ligninger. Han fandt en måde at beregne integraler med komplekse grænser, der foreskygger udviklingen af moderne kompleks analyse., Han opfandt calculus varianter herunder dens mest kendte resultat, Euler-Lagrange ligning.

Euler banebrydende brugen af analytiske metoder til at løse talteori problemer. På den måde forenede han to forskellige grene af matematik og introducerede et nyt studieområde, analytisk talteori. I banebrydende for dette nye område, Euler skabt teorien om hypergeometric serien,. – serien, hyperbolsk trigonometriske funktioner og den analytiske teori om fortsatte fraktioner., For eksempel, Han viste infinitude af primtal ved hjælp af divergensen i den harmoniske serien, og han brugte analytiske metoder til at få en vis forståelse af den måde, primtal er fordelt. Eulers arbejde på dette område førte til udviklingen af det primære antal sætning.

talteori

Eulers interesse for talteori kan spores til indflydelsen fra Christian Goldbach, hans ven i St. Petersburg-akademiet. En masse af Eulers tidlige arbejde med talteori var baseret på værker af Pierre de Fermat. Euler udviklet nogle af Fermat ‘ s ideer og modbevist nogle af hans conjectures.,

Euler knyttet karakteren af prime distribution med ideer i analysen. Han beviste, at summen af primernes reciprocaler afviger. Dermed opdagede han forbindelsen mellem Riemann .eta-funktion og primtal; dette er kendt som Euler produkt formel for Riemann .eta-funktion.

Euler viste Newton ‘s identitet, Fermat’ s lille sætning, Fermats teorem om summer af to kvadrater, og han gjorde det særskilte bidrag til Lagrange ‘ s four-pladsen sætning., Han opfandt også totient funktion ((n), antallet af positive heltal mindre end eller lig med heltal n, der er coprime til N. Brug egenskaber af denne funktion, han generaliserede Fermat ‘ s lille sætning til det, der nu er kendt som Eulers sætning. Han bidrog væsentligt til teorien om perfekte numre, som havde fascineret matematikere siden Euclid. Han viste, at forholdet vist mellem selv perfekt numre og Mersenne primtal tidligere vist ved Euclid var en-til-en, et resultat ellers kendt som Euclid–Euler sætning., Euler også conjectured loven om kvadratisk gensidighed. Konceptet betragtes som en grundlæggende sætning af talteori, og hans ideer banede vejen for Carl Friedrichs arbejde Gauss.By 1772 Euler havde vist, at 231-1 = 2,147,483,647 er en Mersenne prime. Det kan have været den største kendte prime indtil 1867.

grafteori

i 1735 præsenterede Euler en løsning på problemet kendt som K .nigsbergs syv broer. Byen K .nigsberg, Preussen blev sat på Pregel-floden og omfattede to store øer, der var forbundet med hinanden og fastlandet med syv broer. Problemet er at afgøre, om det er muligt at følge en sti, der krydser hver bro nøjagtigt en gang og vender tilbage til udgangspunktet. Det er ikke muligt: der er ikke noget Eulerisk kredsløb. Denne løsning anses for at være den første sætning af grafteori, specifikt af Plan grafteori.,

Euler opdagede også formlen V − E + F = 2 {\displaystyle V-e+f=2} vedrørende antallet af hjørner, kanter og flader af en konveks polyhedron og dermed af en plan graf. Konstanten i denne formel er nu kendt som Euler-karakteristikken for grafen (eller et andet matematisk objekt) og er relateret til genstanden for objektet. Undersøgelsen og generaliseringen af denne formel, specifikt af Cauchy og L ‘ Huilier, er oprindelsen af topologi.,

Anvendt matematik

Nogle af Euler ‘ s største succeser var i at løse den virkelige verdens problemer analytisk, og i beskrivelsen af de talrige anvendelser af Bernoulli numre, Fourier-serien, Euler-tal, konstanter e og π, fortsatte fraktioner og integraler. Han integreret Leibniz ‘differential regning med Newton’ s Metode af Fluxions, og der er udviklet værktøjer, der gjorde det lettere at anvende calculus til fysiske problemer. Han gjorde store fremskridt med at forbedre den numeriske tilnærmelse af integrals, opfinde, hvad der nu er kendt som Euler tilnærmelser., De mest bemærkelsesværdige af disse tilnærmelser er Eulers metode og Euler–Maclaurin formel. Han har også lettet brugen af differentialligninger, især indførelse af Euler-Mascheroni konstant:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ((n)) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

en af Eulers mere usædvanlige interesser var anvendelsen af matematiske ideer i musik., I 1739 skrev han Tentamen novae theoriae musicae, i håb om at i sidste ende indarbejde musikteori som en del af matematik. Denne del af hans arbejde har imidlertid ikke modtaget bred opmærksomhed og blev engang beskrevet som alt for matematisk for musikere og alt for musikalsk for matematikere.

i 1911, næsten 130 år efter Eulers død, brugte Alfred J. Lotka Eulers arbejde til at udlede Euler–Lotka-ligningen til beregning af befolkningsvækst for aldersstrukturerede populationer, en grundlæggende metode, der almindeligvis anvendes i befolkningsbiologi og økologi.,

fysik og astronomi

Euler hjalp med at udvikle Euler–Bernoulli beam ligningen, som blev en hjørnesten i teknik. Ud over en vellykket anvendelse af hans analytiske værktøjer til problemer i klassisk mekanik, Euler anvendt disse teknikker til himmelsk problemer. Hans arbejde i astronomi blev anerkendt af flere Paris Academy præmier i løbet af sin karriere. Hans præstationer omfatter bestemmelse med stor nøjagtighed kredsløbene af kometer og andre himmellegemer, forståelse af kometernes natur og beregning af solens paralla.., Hans beregninger bidrog til udviklingen af nøjagtige længdegradstabeller.

Euler ydet vigtige bidrag i optik. Han var uenig med Ne .ton ‘ s corpuscular teori om lys i Opticks, som dengang var den fremherskende teori. Hans 1740 papirer på optik været med til at sikre, at den bølge teori om lys foreslået af Christiaan Huygens ville blive den dominerende tænkemåde, i det mindste indtil udviklingen af den kvantemekaniske teori for lys.

i 1757 offentliggjorde han et vigtigt sæt af ligninger for inviscid Flo., som nu er kendt som Euler ligninger.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{justeret}}}

hvor

• ρ er den flydende masse, densitet,
• u er den væske hastighedsvektoren, med komponenter, u, v og w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) er den samlede mængde energi per volumenenhed, med e er den indre energi per masseenhed til væske,
• p er trykket,
• ⊗ angiver tensor produkt, og
• 0 er nul-vektoren.,

Han er godt kendt i konstruktionsteknik for hans formel, der giver den kritiske buckling belastning af en ideel strut, der kun afhænger af dets længde og bøjningsstivhed:

F = π 2 E ( K, L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

hvor

• F = maksimum eller kritiske kraft (lodret belastning på kolonne),
• E = elasticitetsmodul,
• I = areal, inertimoment,
• L = ikke understøttet længde på kolonne,
• K = kolonne effektive længde faktor, hvis værdi afhænger af, om betingelserne for at ende støtte fra den kolonne, som følger.,

for begge ender fastgjort (hængslet, fri til at rotere), k = 1.0. For begge ender fast, K = 0,50. For den ene ende fast og den anden ende fastgjort, K = 0,699… for den ene ende fast og den anden ende fri til at bevæge sig sideværts, k = 2,0.

• k l er den effektive længde af søjlen.

logik

Euler krediteres med at bruge lukkede kurver til at illustrere syllogistisk ræsonnement (1768). Disse diagrammer er blevet kendt som Euler diagrammer.,

En Euler-diagram er en skematisk middel til at repræsentere sæt og deres relationer. Euler diagrammer består af enkle lukkede kurver (normalt cirkler) i det plan, der skildrer sæt. Hver Euler kurve deler flyet i to regioner eller “zoner”: det indre, som symbolsk repræsenterer elementer af sættet, og det ydre, som repræsenterer alle elementer, der ikke er medlemmer af sættet. Kurvernes størrelser eller former er ikke vigtige; betydningen af diagrammet er i, hvordan de overlapper hinanden., De rumlige forhold mellem de regioner, der er afgrænset af hver kurve (overlapning, indeslutning eller ingen af dem) svarer til sæt-teoretiske relationer (kryds, delmængde og disjointness). Kurver, hvis indvendige zonesoner ikke skærer hinanden, repræsenterer adskilte sæt. To kurver, hvis indvendige zoner skærer repræsentere grupper, der har fælles elementer; den zone i begge kurver repræsenterer det sæt elementer, der er fælles for begge sæt (skæringspunktet mellem sæt). En kurve, der er indeholdt helt inden for den indre zoneone af en anden repræsenterer en delmængde af det., Euler-diagrammer (og deres raffinement til Venn-diagrammer) blev indarbejdet som en del af undervisningen i teori som en del af den nye matematik-bevægelsen i 1960’erne. Siden da, har de også er blevet kopieret af andre pensum områder som læsning.

Musik

selv når der beskæftiger sig med musik, er Eulers tilgang hovedsageligt matematisk. Hans skrifter om musik er ikke særlig mange (et par hundrede sider, i hans samlede produktion af omkring tredive tusinde sider), men de afspejler en tidlig optagethed og en, der ikke forlade ham i hele hans liv.,

Euler udarbejdet et konkret graf, Speculum musicum, for at illustrere diatonico-kromatisk genre, og diskuteret stier i denne graf for bestemte intervaller, som minder om hans interesse i de Syv Broer i Königsberg (se ovenfor). Enheden trak fornyet interesse som Tonnet.i neo-Riemannian teori (se også gitter (Musik)).

Euler yderligere anvendes princippet om “eksponent” at foreslå en afledning af gradus suavitatis (grad af suavity, af omgængelig) af intervaller og akkorder fra deres primære faktorer – man skal huske på, at han betragtede bare, intonation, dvs, 1 og primtal 3 og 5. Formler er blevet foreslået udvide dette system til et vilkårligt antal primtal, F.i form

ds = ((kipi – ki) + 1

hvor pi er primtal og Ki deres eksponenter.