Leonhard Euler (Français)

Euler a travaillé dans presque tous les domaines des mathématiques, tels que la géométrie, le calcul infinitésimal, la trigonométrie, l’algèbre et la théorie des nombres, ainsi que la physique du continuum, la théorie lunaire et d’autres domaines de la physique. Il est une figure séminale dans l’histoire des mathématiques; s’ils étaient imprimés, ses œuvres, dont beaucoup sont d’intérêt fondamental, occuperaient entre 60 et 80 volumes quarto. Le nom d’Euler est associé à un grand nombre de sujets.,

Euler est le seul mathématicien à avoir deux nombres nommés d’après lui: l’important nombre D’Euler dans le calcul, e, approximativement égal à 2,71828, et la constante d’Euler–Mascheroni γ (gamma) parfois appelée simplement « constante D’Euler », approximativement égale à 0,57721. On ne sait pas si γ est rationnel ou irrationnel.

notation mathématique

Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions notationnelles à travers ses nombreux manuels largement diffusés., Plus particulièrement, il a introduit le concept de fonction et a été le premier à écrire f(x) pour désigner la fonction f appliquée à l’argument X. Il a également introduit la notation moderne pour les fonctions trigonométriques, la lettre e pour la base du logarithme naturel (maintenant aussi connu sous le nom de nombre D’Euler), La lettre grecque Σ pour les sommations et la lettre i pour désigner l’unité imaginaire. L’utilisation de la lettre grecque π pour désigner le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre a également été popularisée par Euler, bien qu’elle provienne du mathématicien Gallois William Jones.,

analyse

le développement du calcul infinitésimal a été à l’avant-garde de la recherche mathématique du 18ème siècle, et les Bernoullis—amis de la famille D’Euler—ont été responsables d’une grande partie des premiers progrès dans le domaine. Grâce à leur influence, l’étude du calcul est devenue le centre majeur du travail d’Euler. Alors que certaines des preuves D’Euler ne sont pas acceptables par les normes modernes de rigueur mathématique (en particulier sa dépendance sur le principe de la généralité de l’algèbre), ses idées ont conduit à de nombreuses grandes avancées.,Euler est bien connu en analyse pour son utilisation fréquente et son développement des séries de puissance, l’expression de fonctions comme sommes d’infiniment de termes, tels que

e x = ∑ N = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 à 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + X n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!} = \ lim _{n \ à \ infty}\left ({\frac {1} {0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\droit).}

Euler a prouvé directement les expansions des séries de puissance pour e et la fonction tangente inverse., (La preuve indirecte par la technique des séries de puissance inverse a été donnée par Newton et Leibniz entre 1670 et 1680.) Son utilisation audacieuse des séries de puissance lui a permis de résoudre le célèbre problème de Bâle en 1735 (il a fourni un argument plus élaboré en 1741):

∑ N = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler introduit l’utilisation de la fonction exponentielle et logarithme analytique des preuves. Il a découvert des moyens d’exprimer diverses fonctions logarithmiques en utilisant des séries de puissance, et il a réussi à définir des logarithmes pour les nombres négatifs et complexes, élargissant ainsi considérablement la portée des applications mathématiques des logarithmes. Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes, et a découvert sa relation avec les fonctions trigonométriques., Pour tout nombre réel φ (considéré comme radians), la formule d’Euler indique que la fonction exponentielle complexe satisfait

E I φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}

un cas particulier de la formule ci-dessus est connu sous le nom d’identité D’Euler,

E I π + 1 = 0 {\displaystyle E^{i\pi }+1=0}

appelée « la formule la plus remarquable en mathématiques » par Richard P. Feynman, pour ses utilisations uniques des notions d’addition, de multiplication, d’exponentiation et d’égalité, et les utilisations uniques des constantes importantes 0, 1, e, i et π., En 1988, les lecteurs du Mathematical Intelligencer l’ont élu « la plus belle formule mathématique de tous les temps ». Au total, Euler était responsable de trois des cinq premières formules de ce sondage.

la formule de de Moivre est une conséquence directe de la formule d’Euler.

Euler a élaboré la théorie des fonctions transcendantales supérieures en introduisant la fonction gamma et a introduit une nouvelle méthode pour résoudre les équations quartiques. Il a trouvé un moyen de calculer des intégrales avec des limites complexes, préfigurant le développement de l’analyse complexe moderne., Il a inventé le calcul des variations, y compris son résultat le plus connu, l’équation D’Euler-Lagrange.

Euler a été le pionnier de l’utilisation de méthodes analytiques pour résoudre des problèmes de théorie des nombres. Ce faisant, il a uni deux branches disparates des mathématiques et a introduit un nouveau domaine d’étude, la théorie analytique des nombres. En ouvrant la voie à ce nouveau domaine, Euler a créé la théorie des séries hypergéométriques, des séries q, des fonctions trigonométriques hyperboliques et la théorie analytique des fractions continues., Par exemple, il a prouvé l’infinitude des nombres premiers en utilisant la divergence de la série harmonique, et il a utilisé des méthodes analytiques pour mieux comprendre la façon dont les nombres premiers sont distribués. Les travaux d’Euler dans ce domaine ont conduit au développement du théorème des nombres premiers.

théorie des nombres

L’intérêt d’Euler pour la théorie des nombres peut être attribué à L’influence de Christian Goldbach, son ami à L’Académie de Saint-Pétersbourg. Une grande partie des premiers travaux d’Euler sur la théorie des nombres était basée sur les travaux de Pierre de Fermat. Euler a développé certaines des idées de Fermat et a réfuté certaines de ses conjectures.,

Euler a lié la nature de la distribution des nombres premiers avec des idées en analyse. Il a prouvé que la somme des inverses des nombres premiers diverge. Ce faisant, il a découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers; ceci est connu comme la formule du produit D’Euler pour la fonction zêta de Riemann.

Euler a prouvé les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés, et il a apporté des contributions distinctes au théorème des quatre carrés de Lagrange., Il a également inventé la fonction totiente φ (n), le nombre d’entiers positifs inférieurs ou égaux à l’entier n qui sont premiers à N. en utilisant les propriétés de cette fonction, il a généralisé le petit théorème de Fermat à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème d’Euler. Il a contribué de manière significative à la théorie des nombres parfaits, qui avait fasciné les mathématiciens depuis Euclide. Il a prouvé que la relation entre les nombres parfaits pairs et les nombres premiers de Mersenne précédemment prouvée par Euclide était un à un, un résultat autrement connu sous le nom de théorème D’Euclide-Euler., Euler a également conjecturé la loi de réciprocité quadratique. Le concept est considéré comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, et ses idées ont ouvert la voie aux travaux de Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler avait prouvé que 231 – 1 = 2 147 483 647 est un nombre premier de Mersenne. Il est peut-être resté le plus grand premier connu jusqu’en 1867.

théorie des graphes

en 1735, Euler a présenté une solution au problème connu sous le nom des sept ponts de Königsberg. La ville de Königsberg, en Prusse, était située sur la rivière Pregel et comprenait deux grandes îles reliées entre elles et le continent par sept ponts. Le problème est de décider s’il est possible de suivre un chemin qui traverse chaque pont exactement une fois et retourne au point de départ. Ce n’est pas possible: il n’y a pas de circuit eulérien. Cette solution est considérée comme le premier théorème de la théorie des graphes, en particulier de la théorie des graphes planaires.,

Euler également découvert la formule V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} rapportant le nombre de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre convexe, et donc d’un graphe planaire. La constante dans cette formule est maintenant connu comme la caractéristique d’Euler pour le graphique (ou autre objet mathématique), et est liée au genre de l’objet. L’étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy et L’Huilier, est à l’origine de la topologie.,

Mathématiques Appliquées

certains des plus grands succès D’Euler ont été la résolution analytique de problèmes réels et la description de nombreuses applications des nombres de Bernoulli, des séries de Fourier, des nombres D’Euler, des constantes e et π, des fractions continues et des intégrales. Il a intégré le calcul différentiel de Leibniz avec la méthode des Fluxions de Newton et a développé des outils qui ont facilité l’application du calcul aux problèmes physiques. Il a fait de grands progrès dans l’amélioration de l’approximation numérique des intégrales, inventant ce que l’on appelle maintenant les approximations D’Euler., Les plus notables de ces approximations sont la méthode D’Euler et la formule D’Euler–Maclaurin. Il a également facilité l’utilisation des équations différentielles, en introduisant notamment la constante D’Euler–Mascheroni:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ (n)) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

L’un des intérêts les plus inhabituels d’Euler était l’application des idées mathématiques en musique., En 1739, il a écrit le Tentamen novae theoriae musicae, dans l’espoir d’intégrer éventuellement la théorie musicale dans le cadre des mathématiques. Cette partie de son travail, cependant, n’a pas reçu une grande attention et a été une fois décrit comme trop mathématique pour les musiciens et trop musical pour les mathématiciens.

en 1911, près de 130 ans après la mort d’Euler, Alfred J. Lotka a utilisé les travaux d’Euler pour dériver l’équation D’Euler–Lotka pour calculer les taux de croissance de la population pour les populations structurées par âge, une méthode fondamentale couramment utilisée en biologie et en écologie des populations.,

physique et astronomie

Euler a aidé à développer L’équation du faisceau D’Euler–Bernoulli, qui est devenue une pierre angulaire de l’ingénierie. En plus d’appliquer avec succès ses outils analytiques aux problèmes de la mécanique classique, Euler a appliqué ces techniques aux problèmes célestes. Son travail en astronomie a été récompensé par de nombreux prix de L’Académie de Paris au cours de sa carrière. Ses réalisations comprennent la détermination avec une grande précision des orbites des comètes et autres corps célestes, la compréhension de la nature des comètes et le calcul de la parallaxe du Soleil., Ses calculs ont contribué à l’élaboration de tables de longitude précises.

Euler a apporté d’importantes contributions en optique. Il était en désaccord avec la théorie corpusculaire de Newton de la lumière dans les Opticks, qui était alors la théorie dominante. Ses articles des années 1740 sur l’optique ont contribué à faire en sorte que la théorie ondulatoire de la lumière proposée par Christiaan Huygens devienne le mode de pensée dominant, au moins jusqu’au développement de la théorie quantique de la lumière.

en 1757, il publia un ensemble important d’équations pour le flux inviscide, qui sont maintenant connues sous le nom d’équations D’Euler.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\napla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\napla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\napla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

où

• ρ est la densité massique du fluide,
• u est le vecteur vitesse du fluide, avec les composantes U, V et w,
• E = ρ e + ½ ρ (U2 + v2 + W2) est l’énergie totale par unité de volume, avec E étant l’énergie interne par unité de masse pour le fluide,
• p est la pression,
• ⊗ 0 étant le vecteur zéro.,

Euler est bien connu en ingénierie structurelle pour sa formule donnant la charge critique de flambage d’une jambe de force idéale, qui ne dépend que de sa longueur et de sa rigidité en flexion:

F = π 2 e I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

où

• F = force maximale ou critique> e = module d’élasticité,
• I = moment d’inertie de la zone,
• L = longueur non supportée de la colonne,
• k = facteur de longueur effectif de la colonne, dont la valeur dépend des conditions de support d’extrémité de la colonne, comme suit.,

pour les deux extrémités épinglées (articulées, libres de tourner), K = 1.0. Pour les deux extrémités fixes, K = 0,50. Pour une extrémité fixe et l’autre extrémité épinglé, K = 0.699… Pour une extrémité fixe et l’autre extrémité libre de se déplacer latéralement, K = 2.0.

• K l est la longueur effective de la colonne.

Logique

Euler est crédité avec l’aide de courbes fermées pour illustrer le raisonnement syllogistique (1768). Ces diagrammes sont devenus connus sous le nom de diagrammes D’Euler.,

Une Euler diagramme schématique des moyens de représentant des ensembles et de leurs relations. Les diagrammes d’Euler se composent de courbes fermées simples (généralement des cercles) dans le plan qui représentent des ensembles. Chaque Euler courbe sépare le plan en deux régions ou « zones »: à l’intérieur, qui représente symboliquement les éléments de l’ensemble, et de l’extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l’ensemble. Les tailles ou les formes des courbes ne sont pas importantes; la signification du diagramme réside dans la façon dont elles se chevauchent., Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe (Chevauchement, confinement ou ni l’un ni l’autre) correspondent aux relations ensembles-théoriques (intersection, sous-ensemble et disjonction). Les courbes dont les zones intérieures ne se croisent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs; la zone à l’intérieur des deux courbes représente l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l’intersection des ensembles). Une courbe qui est contenue complètement dans la zone intérieure d’une autre représente un sous-ensemble de celle-ci., Les diagrammes d’Euler (et leur affinement aux diagrammes de Venn) ont été incorporés dans le cadre de l’enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre du nouveau mouvement des mathématiques dans les années 1960. depuis lors, ils ont également été adoptés par d’autres domaines de programme tels que la lecture.

Musique

même lorsqu’il s’agit de musique, L’approche D’Euler est principalement mathématique. Ses écrits sur la musique ne sont pas particulièrement nombreux (quelques centaines de pages, dans sa production totale d’environ trente mille pages), mais ils reflètent une préoccupation précoce et qui ne l’a pas quitté tout au long de sa vie.,

Euler a conçu un graphe spécifique, le Speculum musicum, pour illustrer le genre diatonico-chromatique, et a discuté des chemins dans ce graphe pour des intervalles spécifiques, rappelant son intérêt pour les sept ponts de Königsberg (voir ci-dessus). Le dispositif a suscité un regain d’intérêt comme le Tonnetz dans la théorie néo-riemannienne (Voir Aussi treillis (musique)).

Euler a en outre utilisé le principe de l ‘ »exposant » pour proposer une dérivation du gradus suavitatis (degré de suavité, d’agrément) des intervalles et des accords à partir de leurs facteurs premiers – il faut garder à l’esprit qu’il considérait l’intonation juste, c’est-à-dire, 1 et les nombres premiers 3 et 5 seulement. Des formules ont été proposées pour étendre ce système à n’importe quel nombre de nombres premiers, par exemple sous la forme

ds = Σ (kipi – ki) + 1

où pi sont des nombres premiers et ki leurs exposants.