Leonhard Euler (Norsk)

Euler jobbet i nesten alle områder av matematikken, som geometri, uendelige lite kalkulus, trigonometri, algebra og tallteori, samt kontinuum fysikk, lunar teori og andre områder av fysikken. Han er en banebrytende figur i historien av matematikk, hvis den skrives ut, hans verker, hvorav mange er av fundamental interesse, ville okkupere mellom 60 og 80 quarto volumer. Euler ‘ s navn er forbundet med et stort antall emner.,

Euler er bare matematiker å ha to tall som er oppkalt etter ham: viktig Euler ‘ s nummer i kalkulus, e, tilnærmet lik 2.71828, og Euler–Mascheroni konstant γ – (gamma) noen ganger referert til som bare «Euler’ s konstant», tilnærmet lik 0.57721. Det er ikke kjent om γ er rasjonell eller irrasjonell.

Matematisk notasjon

Euler innført og popularisert flere notational konvensjoner gjennom hans mange og omfattende sirkulert lærebøker., Mest kjent er han introduserte konseptet med en funksjon, og var den første til å skrive f(x) for å angi den funksjon f søkt argument x. Han introduserte også den moderne notasjon for trigonometriske funksjoner, bokstav e for bunnen av den naturlige logaritmen (nå også kjent som Euler-nummer), den greske bokstaven Σ for summations og brevet jeg å betegne den imaginære enheten. Bruken av den greske bokstaven π for å betegne forholdet mellom en sirkelens omkrets til sin diameter var også popularisert av Euler, selv om det stammer med Walisisk matematiker William Jones.,

Analyse

utvikling av uendelige lite kalkulus var i forkant av det 18. århundre matematisk forskning, og Bernoullis—familie, venner av Euler—var ansvarlig for mye av den tidlige fremgang i feltet. Takket være sin innflytelse, studere kalkulus ble det stort fokus på Euler ‘ s arbeid. Mens noen av Euler bevis er ikke akseptabelt av moderne standarder for matematisk stringens (særlig hans tillit på prinsippet om omfanget av algebra), hans ideer førte til mange store fremskritt.,Euler er godt kjent i analysen for hans hyppige bruk og utvikling av power-serien, er det uttrykk for funksjoner som summer av uendelig mange begreper, som f.eks.

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\til \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\høyre).}

Euler direkte viste seg å være i power-serien utvidelser for e og invers tangens-funksjonen., (Indirekte bevis via invers power-serien teknikk som ble gitt av Newton og Leibniz mellom 1670-og 1680.) Hans dristig bruk av power-serien gjorde ham i stand til å løse den berømte Basel problem i 1735 (han har sørget for en mer utførlig argumentasjon i 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n-2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\til \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler innført bruk av den eksponentielle funksjonen og logaritmer i analytiske bevis. Han oppdaget måter å uttrykke ulike logaritmiske funksjoner ved hjelp av power-serien, og han ble definert logaritmer for negative og komplekse tall, og dermed i stor grad utvide omfanget av matematiske anvendelser av logaritmer. Han definerte den eksponentielle funksjonen for komplekse tall, og oppdaget sitt forhold til de trigonometriske funksjonene., For noen reelle antall φ (tatt for å være i radianer), Euler ‘ s formel sier at de kompleks eksponentialfunksjon tilfredsstiller

e jeg φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +jeg\synd \varphi .}

Et spesielt tilfelle av ovennevnte formel er kjent som Euler ‘ s identitet,

e jeg π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

kalt «det mest bemerkelsesverdige formel i matematikk» av Richard P. Feynman, for dens enkelt bruker av forestillinger om tillegg, multiplikasjon, exponentiation og likestilling, og den enkelte bruker av viktige konstanter 0, 1, e, i og π., I 1988 lesere av den Matematiske Intelligencer kåret det til «den Vakreste Matematisk Formel Noensinne». I sum, Euler var ansvarlig for tre av de fem øverste formler i den avstemningen.

De Moivre formelen er en direkte konsekvens av Euler ‘ s formel.

Euler utarbeidet teorien om høyere transcendentale funksjoner ved å innføre gamma funksjon og innført en ny metode for å løse en bikvadratisk ligninger. Han fant en måte å beregne integraler med komplekse grenser, foreshadowing utvikling av moderne kompleks analyse., Han oppfant analyse av variasjoner inkludert dens mest kjente resultat, Euler–Lagrange likningen.

Euler pioner i bruk av analytiske metoder for å løse tallteori problemer. Ved å gjøre det, han united to ulike grener av matematikk og introduserte et nytt fagområde, analytisk tallteori. I breaking bakken for dette nye feltet, Euler opprettet teorien om hypergeometric serien, q-serien, hyperbolske trigonometriske funksjoner og analytisk teori om fortsatt fraksjoner., For eksempel, han viste seg å være infinitude av primtall ved hjelp av divergens av de harmoniske serien, og han brukte analytiske metoder for å få litt forståelse av hvordan primtall er fordelt. Euler ‘ s arbeid på dette området førte til utviklingen av primtall teorem.

tallteori

Euler ‘ s interesse i antall teori som kan spores tilbake til påvirkning av Kristne Goldbach, hans venn i St. Petersburg Academy. Mye av Euler ‘s tidlige arbeider på antall teori var basert på verk av Pierre de Fermat’. Euler utviklet noen av fermat ‘ s ideer og avkreftet noen av hans seg forestillinger.,

Euler knyttet arten av prime distribusjon med ideer i analysen. Han viste seg at summen av reciprocals av primtall divergerer. Ved å gjøre det, han oppdaget sammenhengen mellom Riemann zeta-funksjonen og primtall; dette er kjent som Euler produktet formel for Riemann zeta-funksjon.

Euler viste seg Newtons identiteter, fermats lille teorem, fermats teorem om summer av to ruter, og han gjorde distinkte bidrag til Lagrange ‘ s fire-square-teoremet., Han oppfant totient funksjon φ(n), antall positive heltall mindre enn eller lik heltallet n som er coprime til n. Ved hjelp av egenskaper av denne funksjonen, han generalisert fermats lille teorem til det som i dag er kjent som Eulers teorem. Han bidro vesentlig til teorien om perfekt tall, som hadde fascinert matematikere siden Euclid. Han viste seg at forholdet er vist mellom enda perfekt tall og Mersenne primtall tidligere bevist av Euklids var en-til-en, et resultat som ellers er kjent som Euclid–Eulers teorem., Euler også conjectured loven av kvadratisk resiprositet. Konseptet er ansett som en fundamental teorem om tallteori, og hans ideer banet vei for arbeid av Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler hadde vist at 231 − 1 = 2,147,483,647 er en Mersenne prime. Det kan ha vært den største kjente prime til 1867.

Grafen teori

I 1735, Euler presentert en løsning på problemet kjent som Sju Broene i Königsberg. Byen Königsberg, Preussen ble satt på Pregel River, og inkludert to store øyer som var koblet til hverandre og fastlandet med syv broer. Problemet er å avgjøre om det er mulig å følge en sti som krysser hver bridge nøyaktig når og returnerer til utgangspunktet. Det er ikke mulig: det er ingen Eulersk krets. Denne løsningen er ansett for å være den første teorem av grafen teori, spesielt av plan grafen teori.,

Euler også funnet formelen V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} forbindelse antall hjørner, kanter og overflater av en konveks polyhedron, og dermed av en plan graf. Den konstante i denne formelen er nå kjent som Euler karakteristisk for diagrammet (eller andre matematiske objekt), og er knyttet til slekten av objektet. Studier og generalisering av denne formelen, spesielt av Kontinuitet og L’Huilier, er på opprinnelsen av topologi.,

Anvendt matematikk

Noen av Euler ‘ s største suksesser var i å løse problemer i den virkelige verden analytisk, og beskriver en rekke anvendelser av Bernoulli tall, fourierrekker, Eulers tall, konstanter e og π, fortsatte fraksjoner og integraler. Han integrert Leibniz ‘ s partielle beregninger med Newtons Metode for Fluxions, og utviklet verktøy som gjorde det enklere å søke kalkulus til fysiske problemer. Han gjorde store fremskritt i å forbedre numerisk tilnærming av integraler, å finne opp det som nå er kjent som Euler-approksimasjoner., Den mest kjente av disse anslag er Euler-metoden og Euler–Maclaurin formel. Han gjorde også bruk av differensiallikninger, i bestemt å innføre Euler–Mascheroni konstant:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

En av Euler mer uvanlige interesser ble anvendelse av matematiske ideer i musikk., I 1739 han skrev på Tentamen novae theoriae musicae, i håp om å til slutt innlemme musikalske teori som en del av matematikken. Denne delen av hans arbeid, men ikke får bred oppmerksomhet, og ble en gang beskrevet som for matematiske for musikere og for musikal for matematikere.

I 1911, nesten 130 år etter Euler ‘s død, Alfred J. Lotka brukt Euler’ s arbeid for å utlede Euler–Lotka ligningen for beregning av priser for befolkningsvekst for alder-strukturert bestander, er en grunnleggende metode som er vanlig i befolkningen biologi og økologi.,

Fysikk og astronomi

Euler bidro til å utvikle Euler–Bernoulli bredde ligningen, som ble en hjørnestein i ingeniørfag. I tillegg lykkes med å anvende sin analytiske verktøy til problemer i klassisk mekanikk, Euler brukt disse teknikkene til celestial problemer. Hans arbeid i astronomi ble anerkjent av flere Paris Academy Premier i løpet av sin karriere. Hans prestasjoner inkluderer å fastslå med stor nøyaktighet banene av kometer og andre himmellegemer, forståelsen av kometer, og beregning av parallax av Solen., Hans beregninger bidratt til utviklingen av nøyaktige lengdegrad bord.

Euler har gitt viktige bidrag i optikk. Han var uenig med Newtons corpuscular teori om lys i Opticks, som da var den rådende teorien. Hans 1740s papers på optikk bidratt til å sikre at bølger av lys, som er foreslått av Christiaan Huygens ville bli den dominerende modus for tanken, i det minste til utviklingen av kvanteteorien av lys.

I 1757 han publisert et viktig sett av ligninger for friksjonsfri strømning, som nå er kjent som Euler-ligningene.,artial (\rho {\mathbf {r} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {r} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\delvis utskrift av E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {r} (E+p))=0,\end{justert}}}

hvor

• ρ er væske masse tetthet,
• u er væske fartsvektoren, med komponenter av u, v og w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) er den totale energi per enhet volum, med e som den indre energi per enhet masse for flytende
• p er trykket,
• ⊗ betegner tensoren produktet, og
• 0 er null vektor.,

Euler er godt kjent i byggeteknikk for hans formel som gir den kritiske knekking legg til en ideell strut, som bare avhenger av dens lengde og flexural stivhet:

F = π 2 E I ( L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

hvor

• F = maksimal eller kritiske kraft (vertikal belastning på kolonnen),
• E = elastisitetsmodul,
• jeg = – området treghetsmoment,
• L = uegnet lengde av kolonnen,
• K = kolonne effektiv lengde faktor, der verdien avhenger av forholdene i slutten støtte av kolonnen, som følger.,

For begge endene festet (hengslet, gratis å rotere), K = 1.0. For begge endene fast, K = 0.50. For den ene enden fast og den andre enden festet, K = 0.699… For den ene enden fast og den andre enden fri til å bevege seg sideveis, K = 2.0.

• K L er den effektive lengden på søylen.

Logikk

Euler er kreditert med å bruke lukkede kurver for å illustrere syllogistic resonnement (1768). Disse diagrammene har blitt kjent som Euler-diagrammer.,

En Euler-diagram er en skjematisk betyr å representere sett og sine relasjoner. Euler-diagrammer består av enkle lukkede kurver (vanligvis sirkler) i planet som skildrer sett. Hver Euler kurve deler planet i to regioner eller «soner»: interiør, som symbolsk representerer elementene i settet, og det ytre, som representerer alle elementer som ikke er medlemmer av settet. Den størrelser eller former av kurvene er ikke viktig; betydningen av diagrammet, er i hvordan de overlapper hverandre., Den romlige relasjoner mellom regionene er avgrenset med hver kurve (overlapper hverandre, oppbevaring eller ingen av delene) tilsvarer set-teoretisk relasjoner (kryss, undergruppe og disjointness). Kurver som indre sonene ikke møtes representerer disjoint sett. To kurver som indre soner overlapper representere sett som har felles elementer; sonen i begge kurvene representerer et sett av elementer som er felles for begge settene (skjæringspunktet mellom settene). En kurve som ligger helt innenfor det indre sone av en annen representerer en undergruppe av det., Euler-diagrammer (og deres raffinement til Venn-diagrammer) ble innlemmet som en del av undervisningen i set teori som en del av den nye matte-bevegelsen på 1960-tallet. Siden da, de har også blitt adoptert av andre pensum felt som for eksempel å lese.

Musikk

Selv når du arbeider med musikk, Euler ‘ s tilnærming er hovedsakelig matematisk. Hans skrifter på musikk er ikke spesielt tallrik (et par hundre sider, i hans totale produksjon på ca tretti tusen sider), men de gjenspeiler en tidlig opptatthet og en som ikke forlate ham gjennom hele livet.,

Euler utarbeidet en bestemt grafen, det Spekulum musicum, for å illustrere diatonico-kromatisk sjanger, diskutert og stier i denne grafen for bestemte intervaller, som minner om sin interesse i de Syv Broene i Königsberg (se ovenfor). Enheten trakk fornyet interesse som Tonnetz i neo-Riemannian teori (se også Gitter (musikk)).

Euler videre brukes prinsippet om «eksponent» å foreslå en avledning av gradus suavitatis (grad av suavity, av agreeableness) av intervaller og akkorder fra sin beste alder faktorer – en må huske på at han anså bare intonasjon, dvs., 1 og prime nummer 3 og 5. Formler har vært foreslått å utvide dette systemet til et hvilket som helst antall primtall, for eksempel i form

ds = Σ (kipi – ki) + 1

hvor pi er primtall og ki sine talsmenn.