Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática, tais como geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como a continuidade de física, teoria lunar e outras áreas da física. Ele é uma figura seminal na história da matemática; se impresso, suas obras, muitas das quais são de interesse fundamental, ocupariam entre 60 e 80 volumes quarto. O nome de Euler está associado a um grande número de tópicos.,
Euler é o único matemático a ter dois números nomeados em sua homenagem: o importante número de Euler em cálculo, e, aproximadamente igual a 2,71828, e a constante de Euler–Mascheroni γ (gama) às vezes referido como apenas “constante de Euler”, aproximadamente igual a 0,57721. Não se sabe Se γ é racional ou irracional.
notação matemática
Euler introduziu e popularizou várias convenções notacionais através de seus numerosos e amplamente circulados livros de texto., Mais notavelmente, ele introduziu o conceito de uma função e foi o primeiro a escrever f(x) para denotar a função f aplicada ao argumento x. Ele também introduziu o moderno notação de funções trigonométricas, a letra e a base do logaritmo natural (agora também conhecido como o número de Euler), a letra grega Σ para os somatórios e a letra i para denotar a unidade imaginária. O uso da letra grega π para denotar a relação entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro também foi popularizado por Euler, embora se tenha originado com o matemático galês William Jones.,
análise
o desenvolvimento do cálculo infinitesimal estava na vanguarda da pesquisa matemática do século XVIII, e os Bernoullis—amigos da família de Euler—foram responsáveis por grande parte do progresso inicial no campo. Graças à sua influência, estudar cálculo tornou-se o foco principal do trabalho de Euler. Enquanto algumas das provas de Euler não são aceitáveis pelos padrões modernos de rigor matemático (em particular sua confiança no princípio da Generalidade da álgebra), suas ideias levaram a muitos grandes avanços.,Euler é bem conhecido em análise por seu uso frequente e desenvolvimento de séries de potência, a expressão de funções como somas de infinitamente muitos termos, tais como
E x = ∑ n = 0 ∞ x n ! = lim n → ∞ (10! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n ! ) . {\displaystyle E^{x}= \ sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \ over n!} = \lim _{n\to \infty }\left ({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}} {2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}} {n!}}\direito).}
Euler provou diretamente as expansões da série de potência para e e a função tangente inversa., (Prova indireta via a técnica da série inversa de potência foi dada por Newton e Leibniz entre 1670 e 1680.) Sua audácia uso do poder série habilitado-lo a resolver o famoso Basileia problema em 1735 (ele forneceu um argumento mais elaborado em 1741):
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}
Uma interpretação geométrica de Euler a fórmula
Euler introduziu o uso da função exponencial e logaritmos na analítico provas. He discovered ways to express various logarithmic functions using power series, and he successfully defined logarithms for negative and complex numbers, thus greatly expanding the scope of mathematical applications of logarithms. Ele também definiu a função exponencial para números complexos, e descobriu sua relação com as funções trigonométricas., Para qualquer número real φ (tomado como radianos), a fórmula de Euler afirma que a função exponencial complexa satisfaz
E I φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle E^{I\varphi } = \ cos \ varphi +i\sin \varphi .}
Um caso especial de a fórmula acima é conhecida como identidade de Euler,
e eu π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
chamada de “a mais notável fórmula matemática”, de Richard P. Feynman, para sua única utiliza as noções de adição, multiplicação, potência, e a igualdade, e o único utiliza o importante constantes 0, 1, e, i e π., Em 1988, os leitores do Mathematical Intelligencer votaram “a mais bela fórmula matemática de sempre”. No total, Euler foi responsável por três das cinco principais fórmulas da pesquisa.a fórmula de Moivre é uma consequência direta da fórmula de Euler.
Euler elaborou a teoria das funções transcendentais superiores introduzindo a função gama e introduziu um novo método para resolver equações quarticas. Ele encontrou uma maneira de calcular integrais com limites complexos, prenunciando o desenvolvimento da análise complexa moderna., Ele inventou o cálculo de variações incluindo seu resultado mais conhecido, a equação de Euler-Lagrange.
Euler foi pioneiro no uso de métodos analíticos para resolver problemas da teoria dos números. Ao fazê-lo, ele uniu dois ramos díspares da matemática e introduziu um novo campo de estudo, a teoria analítica dos números. Em um ponto de partida para este novo campo, Euler criou a teoria das séries hipergeométricas, séries q, funções trigonométricas hiperbólicas e a teoria analítica das frações contínuas., Por exemplo, ele provou a infinitude de números primos usando a divergência da série harmônica, e ele usou métodos analíticos para ganhar alguma compreensão da forma como os números primos são distribuídos. O trabalho de Euler nesta área levou ao desenvolvimento do teorema dos números primos.
Teoria dos números
o interesse de Euler na teoria dos números pode ser rastreado até a influência de Christian Goldbach, seu amigo na Academia de São Petersburgo. Muitos dos primeiros trabalhos de Euler sobre a teoria dos números foram baseados nas obras de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat e refutou algumas de suas conjecturas.,
Euler associou a natureza da distribuição primária com ideias em análise. Ele provou que a soma dos recíprocos dos primos diverge. Ao fazê-lo, ele descobriu a conexão entre a função zeta de Riemann e os números primos; esta é conhecida como a fórmula de produto de Euler para a função zeta de Riemann.
Euler provou as identidades de Newton, o Pequeno Teorema de Fermat, o teorema de Fermat em somas de dois quadrados, e ele fez contribuições distintas para o teorema de quatro quadrados de Lagrange., Ele também inventou a totient função φ(n), o número de inteiros positivos menores ou iguais ao número inteiro n que são primos entre si para n. Usando as propriedades desta função, ele generalizada de Fermat pouco teorema para o que agora é conhecido como teorema de Euler. Ele contribuiu significativamente para a teoria dos números perfeitos, que fascinava matemáticos desde Euclides. He proved that the relationship shown between even perfect numbers and Mersenne primes earlier proved by Euclid was one-to–one, a result otherwise known as the Euclid-Euler theorem., Euler também conjecturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado como um teorema fundamental da teoria dos números, e suas ideias pavimentaram o caminho para o trabalho de Carl Friedrich. Gauss.By 1772 Euler provou que 231 − 1 = 2,147,483,647 é um primo de Mersenne. Pode ter permanecido o maior primo conhecido até 1867.
Teoria dos Grafos
Euler também descobriu a fórmula V-E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} relacionando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, e, portanto, de um grafo planar. A constante nesta fórmula é agora conhecida como a característica de Euler para o grafo (ou outro objeto matemático), e está relacionada com o gênero do objeto. O estudo e generalização desta fórmula, especificamente por Cauchy e L’Huilier, está na origem da topologia.,
Matemática Aplicada
alguns dos maiores sucessos de Euler foram na resolução de problemas do mundo real analiticamente, e na descrição de inúmeras aplicações dos números de Bernoulli, série de Fourier, números de Euler, as constantes e e π, fracções contínuas e integrais. He integrated Leibniz’s differential calculus with Newton’s Method of Fluxions, and developed tools that made it easier to apply calculus to physical problems. Ele fez grandes progressos na melhoria da aproximação numérica dos integrais, inventando o que agora são conhecidos como aproximações de Euler., A mais notável dessas aproximações é o método de Euler e a fórmula de Euler-Maclaurin. Ele também facilitou o uso de equações diferenciais, em particular introduzindo a constante de Euler-Mascheroni:
γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ln (n)). {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right). um dos interesses mais incomuns de Euler foi a aplicação de ideias matemáticas na música., Em 1739 ele escreveu o Tentamen novae theoriae musicae, na esperança de eventualmente incorporar a teoria musical como parte da matemática. Esta parte de seu trabalho, no entanto, não recebeu grande atenção e já foi descrita como muito matemática para músicos e muito musical para matemáticos.
em 1911, quase 130 anos após a morte de Euler, Alfred J. Lotka usou o trabalho de Euler para derivar a equação de Euler–Lotka para calcular as taxas de crescimento da população para populações estruturadas por idades, um método fundamental que é comumente usado em biologia populacional e ecologia.,
física e astronomia
Euler ajudou a desenvolver a equação do feixe de Euler-Bernoulli, que se tornou uma pedra angular da engenharia. Além de aplicar com sucesso suas ferramentas analíticas aos problemas da mecânica clássica, Euler aplicou essas técnicas a problemas celestes. Seu trabalho em astronomia foi reconhecido por vários prêmios da Academia de Paris ao longo de sua carreira. Suas realizações incluem determinar com grande precisão as órbitas dos cometas e outros corpos celestes, compreender a natureza dos cometas, e calcular a paralaxe do sol., Seus cálculos contribuíram para o desenvolvimento de tabelas de longitude precisas.Euler fez importantes contribuições na óptica. Ele discordou da teoria corpuscular de Newton da luz nos Optiques, que era então a teoria prevalecente. Seus artigos de 1740 sobre óptica ajudaram a garantir que a teoria das ondas de luz proposta por Christiaan Huygens se tornaria o modo dominante de pensamento, pelo menos até o desenvolvimento da teoria quântica da luz.
em 1757 publicou um importante conjunto de equações para o fluxo de inviscid, que agora são conhecidas como as equações de Euler.,artial (\rho {\mathbf {r} }) \mais \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {r} \otimo (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \mais \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{alinhado}}}
onde
- ρ é a massa de fluido de densidade,
- u é o vetor velocidade do fluido, com componentes u, v e w,
- E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) é a energia total por unidade de volume, sendo e a energia interna por unidade de massa do fluido,
- p é a pressão,
- ⊗ denota o produto, e
- 0 é o vetor de zero.,
Euler é bem conhecido na engenharia estrutural para sua fórmula dando a crítica de flambagem de carga de um ideal de braço, que só depende do seu comprimento e da rigidez à flexão:
F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}
onde
- F = máximo de crítica ou força (carga vertical na coluna),
- E = módulo de elasticidade,
- I = área de momento de inércia,
- L = não suportado comprimento da coluna,
- K = coluna do comprimento efetivo fator, cujo valor depende das condições de suporte da coluna, como se segue.,
para ambas as extremidades presas (alternadas, livres para rodar), K = 1.0. Para ambas as extremidades fixas, K = 0,50. Para uma extremidade fixa e a outra extremidade presa, K = 0.699 … para uma extremidade fixa e a outra extremidade livre para mover lateralmente, K = 2.0.
- k L é o comprimento efectivo da coluna.
lógica
Euler é creditado com o uso de curvas fechadas para ilustrar raciocínio silogístico (1768). Estes diagramas tornaram-se conhecidos como diagramas de Euler.,
Diagrama de Euler
um diagrama de Euler é um meio diagramático de representar os conjuntos e as suas relações. Os diagramas de Euler consistem de curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que retratam conjuntos. Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou “zonas”: o interior, que simbolicamente representa os elementos do conjunto, e o exterior, que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Os tamanhos ou formas das curvas não são importantes; o significado do diagrama é em como elas se sobrepõem., As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem a relações set-teóricas (intersecção, subconjunto e disjuntura). Curvas cujas zonas interiores não se intersectam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujas zonas interiores se intersectam representam conjuntos que têm elementos comuns; a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (a intersecção dos conjuntos). Uma curva que é contida completamente dentro da zona interior de outra representa um subconjunto dela., Diagramas de Euler (e seu refinamento para diagramas de Venn) foram incorporados como parte da instrução na teoria dos conjuntos como parte do novo movimento matemático na década de 1960. desde então, eles também foram adotados por outros campos curriculares, como a leitura.
Música
mesmo quando se trata de música, a abordagem de Euler é principalmente matemática. Seus escritos sobre a música não são particularmente numerosos (algumas centenas de páginas, em sua produção total de cerca de trinta mil páginas), mas refletem uma preocupação precoce e que não o deixou ao longo de sua vida.,
Euler concebeu um grafo específico, o Speculum musicum, para ilustrar o gênero diatonico-cromático, e discutiu caminhos neste grafo para intervalos específicos, lembrando seu interesse nas Sete Pontes de Königsberg (ver acima). O dispositivo atraiu interesse renovado como o Tonnetz na teoria neo-Riemanniana (ver também retículo (música)).
Euler mais usado o princípio de “expoente” para propor uma derivação do gradus suavitatis (grau de suavidade, de agreeableness) de intervalos e acordes de seus factores primos – deve-se ter em mente que ele considerou apenas a entonação, por exemplo,, 1 e apenas os números primos 3 e 5. Fórmulas foram propostas estendendo este sistema a qualquer número de números primos, por exemplo na forma
ds = Σ (kipi – ki) + 1
Onde pi são números primos e ki seus expoentes.