Leonhard Euler (Suomi)

Euler toimi lähes kaikilla aloilla matematiikan, kuten geometria, äärettömän pieni calculus, trigonometria, algebra ja lukuteoria, sekä continuum fysiikka, lunar teoria ja muilla aloilla fysiikan. Hän on uraauurtava hahmo historiassa matematiikka; jos on painettu, hänen teoksia, joista monet ovat erityisen tärkeitä, olisi miehittää välillä 60 ja 80 quarto määriä. Eulerin nimi liittyy suureen määrään aiheita.,

Euler on ainoa matemaatikko on kaksi numeroa on nimetty hänen mukaansa: tärkeä Eulerin numero calculus, e, suunnilleen sama kuin 2.71828, ja Euler–Mascheroni vakio γ (gamma), jota joskus kutsutaan vain ”Eulerin vakio”, suunnilleen sama kuin 0.57721. Ei tiedetä, onko γ rationaalinen vai irrationaalinen.

Matemaattinen notaatio

Euler käyttöön ja suosituksi useita notational yleissopimusten kautta hänen lukuisia ja laajasti kierrätetään oppikirjoja., Erityisesti hän esitteli käsitteen funktio ja oli ensimmäinen, joka kirjoittaa f(x) tarkoittaa funktion f soveltaa argumentti x. Hän myös esitteli moderni notaatio-trigonometriset funktiot, e-kirjain pohjan luonnollisen logaritmin (nykyään tunnetaan myös nimellä Eulerin numero), kreikkalainen kirjain Σ varten yhteenvetoja ja i-kirjain tarkoittamaan kuvitteellinen yksikkö. Käyttö kreikkalaista kirjainta π tarkoittamaan suhde ympyrän kehän sen halkaisija oli myös suosituksi Euler, vaikka se sai alkunsa Walesin matemaatikko William Jones.,

Analyysi

kehittäminen äärettömän pieni calculus oli eturintamassa 18-luvun matemaattinen tutkimus, ja Bernoullis—perhe-ystävät Euler—olivat vastuussa paljon jo edistystä alalla. Niiden vaikutus, opiskelu calculus tuli keskeinen painopiste Euler työtä. Vaikka jotkut Eulerin todisteet eivät ole hyväksyttäviä nykyajan vaatimuksia matemaattista kurinalaisuutta (erityisesti hänen riippuvuus periaatteen yleisyyttä algebra), hänen ajatuksiaan johti monia suuria edistysaskeleita.,Euler on tunnettu analyysi hänen usein käyttö ja kehittäminen teho-sarja, ilmaus toimii summia äärettömän monia termejä, kuten

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \n yli!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}} +{\frac{x} {1!}} +{\frac {x^{2}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\oikea).}

Euler suoraan osoittautunut valta sarja laajennuksia, e ja inverse tangentti toiminto., (Epäsuora todiste kautta Käänteinen teho sarjan tekniikka annettiin Newton ja Leibniz välillä 1670 ja 1680.) Hänen rohkea käyttö power-sarjan avulla hän voi ratkaista kuuluisa Basel ongelma 1735 (hän antoi kattavampia argumentti 1741):

∑ n = 1 n 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n-2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler otettiin käyttöön eksponenttifunktio ja logaritmit analyyttinen todisteita. Hän löysi tapoja ilmaista erilaisia logaritminen toimintoja käyttämällä power-sarjan, ja hän onnistuneesti määritelty logaritmit negatiivinen ja monimutkaisia numeroita, siten suuresti laajentaa soveltamisalan matemaattisia sovelluksia logaritmit. Hän määritteli myös kompleksilukujen eksponenttifunktion ja löysi sen suhteen trigonometrisiin funktioihin., Mitään todellista määrä φ (otetaan radiaaneina), Eulerin kaava todetaan, että monimutkainen eksponentiaalinen funktio täyttää

e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}

erikoistapaus edellä kaava tunnetaan Eulerin identiteetti,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

nimeltään ”merkittävin kaava matematiikan” Richard P. Feynman, sen yhden käyttää käsitteitä lisäksi kertolasku, potenssi, ja tasa-arvo, ja yksi käyttää tärkeitä vakioita, 0, 1, e, i ja π., Vuonna 1988, lukijat Mathematical Intelligencer äänesti sitä ”kaunein Matemaattinen Kaava, Koskaan”. Kaikkiaan Euler vastasi kyselyssä kolmesta viiden parhaan kaavoista.

De Moivren kaava on suora seuraus Eulerin kaavasta.

Euler kehitti korkeampien transsendenttifunktioiden teoriaa ottamalla käyttöön gammafunktion ja otti käyttöön uuden menetelmän quartic-yhtälöiden ratkaisemiseksi. Hän löysi tapa laskea integrals monimutkaisia rajoja, ennakoi kehitystä modernin kompleksianalyysin., Hän keksi variaatioiden calculus mukaan lukien sen tunnetuin tulos, Euler-Lagrange yhtälö.

Euler oli edelläkävijä analyyttisten menetelmien käytössä lukuteorian ongelmien ratkaisemiseksi. Näin tehdessään hän yhdisti kaksi toisistaan poikkeavaa matematiikan haaraa ja esitteli uuden tutkimusalan, analyyttisen lukuteorian. Vuonna rikkomatta maahan tätä varten uusi kenttä, Euler on luonut teorian hypergeometrinen sarja, k-sarja, hyperbolinen trigonometriset funktiot ja analyyttinen teorian jatkoi jakeet., Esimerkiksi, hän osoittautui infinitude primes käyttää erilaisia harmoninen sarja, ja hän käyttää analyyttisiä menetelmiä saada jonkinlainen käsitys siitä, miten alkuluvut ovat jakautuneet. Eulerin työ tällä alalla johti alkulukulauseen kehittymiseen.

lukuteoria

Eulerin kiinnostunut lukuteoria voidaan jäljittää vaikutuksen Christian Goldbach, hänen ystävänsä St. Petersburg Academy. Paljon Eulerin varhainen työ lukuteoria perustui toimii Pierre de Fermat ’ n. Euler kehitti osan Fermat ’ n ideoista ja kumosi osan loihtimistaan.,

Euler yhdisti alkujakauman luonteen analyysien ideoihin. Hän todisti, että summa vastavuoroisuudet, primes diverges. Näin hän löysi yhteys Riemannin zeta-funktio ja prime numerot; tätä kutsutaan Euler tuotteen kaava, Riemannin zeta funktio.

Euler todisti Newtonin identiteetit, Fermat ’n pieni lause, Fermat’ n lause summia kaksi ruutua, ja hän teki erillisiä maksuja Lagrangen neljän neliön lause., Hän myös keksi totient function φ(n), määrä positiivista kokonaislukua, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin kokonaisluku n, että ovat keskenään jaottomia… n. Käyttämällä ominaisuuksia tämän toiminnon, hän yleistää Fermat ’ n pieni lause, mikä on nyt tunnetaan Eulerin lause. Hän osaltaan merkittävästi teorian täydellinen numerot, joka oli kiehtonut matemaatikot vuodesta Eukleides. Hän osoitti, että suhde osoitettu jopa täydellinen numerot ja Mersenne primes aiemmin osoittautunut Eukleides oli yksi-yksi, tulos tunnetaan muuten Eukleides-Euler lause., Euler myös conjectured lain quadratic vastavuoroisuus. Käsitettä pidetään keskeisenä lause, lukuteoria, ja hänen ajatuksensa viitoittivat tietä työtä Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler oli osoittautunut, että 231 − 1 = 2,147,483,647 on Mersennen alkuluku. Se saattoi olla suurin tunnettu alkuluku vuoteen 1867 saakka.

graafiteoria

Vuonna 1735 Euler esitti ratkaisun ongelmaan tunnetaan Seitsemän Siltoja Königsberg. Kaupungin Königsbergin, Preussi oli asetettu Pregel-Joki, ja mukana kaksi suurta saarta, jotka oli yhdistetty toisiinsa ja mantereeseen seitsemällä siltoja. Ongelmana on päättää, onko mahdollista seurata polkua, joka ylittää jokaisen sillan tasan kerran ja palaa lähtöpisteeseen. Se ei ole mahdollista: Eulerin rataa ei ole. Tätä ratkaisua pidetään graafiteorian ensimmäisenä teoreemana, erityisesti planaarisena graafiteoriana.,

Euler myös löytänyt kaavan V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2}, jotka liittyvät pisteiden lukumäärä, reunat ja kasvot, kupera polyhedron, ja siten tasomainen kuvaajan. Vakiona tämä kaava on nyt kutsutaan Euler ominaisuus kuvaajan (tai muu matemaattinen objekti), ja liittyy suvun kohde. Tämän kaavan tutkiminen ja yleistäminen, erityisesti Cauchyn ja L ’ Huilierin toimesta, on topologian alkuperää.,

Sovelletun matematiikan laitos

Jotkut Eulerin suurimpia onnistumisia olivat ratkaisemaan reaalimaailman ongelmia analyyttisesti, ja kuvatessaan lukuisia sovelluksia Bernoullin numerot, Fourier-sarja, Euler numerot, vakioita, e ja π, jatkoi jakeet ja integrals. Hän integroi Leibniz n differentiaalilaskennan kanssa Newton N menetelmä Fluxions, ja kehitetty työkaluja, jotka helpottivat soveltaa calculus fyysisiin ongelmiin. Hän teki suuria harppauksia parantaa numeerinen lähentämisestä integrals, keksimällä, mitä nyt kutsutaan Euler approksimaatioita., Näistä approksimaatioista merkittävimmät ovat Eulerin menetelmä ja Eulerin–Maclaurinin kaava. Hän myös helpottaa käyttöä differential equations, erityisesti esittelyssä Euler–Mascheroni vakio:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\oikea nuoli \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

yksi Eulerin erikoisemmista kiinnostuksen kohteista oli matemaattisten ideoiden soveltaminen musiikkiin., Vuonna 1739 hän kirjoitti Tentamen novae theoriae musicae, toivoen lopulta sisällyttää musiikin teoriaa osana matematiikkaa. Tämä osa hänen työtään, kuitenkin, ei ole saanut laajaa huomiota ja oli kerran kuvattu liian matemaattinen muusikoille ja liian musiikillinen matemaatikot.

Vuonna 1911, lähes 130 vuotta sen jälkeen, kun Eulerin kuoleman, Alfred J. Lotka käytetään Eulerin työtä, jotta saadaan Euler–Lotka yhtälö laskemiseksi hinnat väestön kasvu, ikä-jäsennelty väestön, perustava menetelmä, joka on yleisesti käytetty väestön biologia ja ekologia.,

fysiikka ja tähtitiede

Euler auttoivat kehittämään Eulerin ja Bernoullin sädeyhtälön, josta tuli insinööritaidon kulmakivi. Lisäksi onnistuneesti soveltamalla hänen analyyttinen työkaluja ongelmien klassinen mekaniikka, Euler soveltaa näitä tekniikoita celestial ongelmia. Hänen työnsä tähtitieteen tunnustettiin useita Pariisin akatemian palkintoja aikana uransa. Hänen saavutuksiinsa kuuluvat komeettojen ja muiden taivaankappaleiden kiertoratojen määrittäminen suurella tarkkuudella, komeettojen luonteen ymmärtäminen ja auringon parallaksin laskeminen., Hänen laskelmat osaltaan kehittää tarkkoja pituusasteita taulukoita.

Euler teki tärkeitä osuuksia Optiikassa. Hän vastusti Newtonin solususpension teorian valossa vuonna Opticks, joka oli silloin vallitseva teoria. Hänen 1740 paperit optiikka auttoi varmistamaan, että aalto teorian valossa ehdottama Christiaan Huygens olisi tullut hallitseva tila ajattelua, ainakin siihen asti, kunnes kehityksen quantum teorian valossa.

Vuonna 1757 hän julkaisi tärkeä joukko yhtälöt inviscid virtaus, jotka ovat nyt kutsutaan Eulerin yhtälöt.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

, jossa

• ρ on nesteen massa, tiheys,
• u on nesteen nopeus vektori, jonka komponentit u, v, w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) on yhteensä energiaa tilavuusyksikköä kohti, jossa e on sisäinen energia massayksikköä nesteen,
• p on paine,
• ⊗ tarkoittaa tensor tuote, ja
• 0 on nollavektori.,

Euler on tunnettu rakennesuunnittelu hänen kaava antaa kriittinen nurjahdus kuorma ihanteellinen joustintuet, joka riippuu vain sen pituus ja taivutus-jäykkyys:

F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

missä

• F = maksimi tai kriittinen voima (pystysuora kuormitus-sarakkeessa),
• E = kimmokerroin,
• I = alueen hitausmomentti,
• L = tueta pituus sarake,
• K = kolonnin tehollinen pituus on tekijä, jonka arvo riippuu ehdoista end tuki sarake seuraavasti.,

molemmissa päissä puristuksissa (saranoitu, vapaasti pyörittävä), K = 1,0. Molemmissa päissä kiinteä, K = 0,50. Toisesta päästä kiinteä ja toisesta päästä puristettu, K = 0,699 … toisesta päästä kiinteä ja toisesta päästä vapaa liikkumaan sivusuunnassa, K = 2,0.

• k L on kolonnin efektiivinen pituus.

Logiikka

Euler on hyvitetään käyttämällä suljettuja käyriä havainnollistaa syllogistic päättely (1768). Nämä diagrammit ovat tulleet tunnetuiksi Eulerin diagrammeina.,

Euler kaavio on kaavamainen tarkoittaa, edustaa sarjaa ja niiden suhteita. Eulerin diagrammit koostuvat yksinkertaisista suljetuista käyristä (yleensä ympyröistä) tasossa, jotka kuvaavat sarjoja. Jokainen Euler käyrä jakaa kone kahdeksi alueilla tai ”alueet”: sisustus, joka symbolisesti edustaa elementtejä asetettu, ja ulkoa, joka edustaa kaikkia elementtejä, jotka eivät ole jäseniä asettaa. Käyrien koot tai muodot eivät ole tärkeitä, vaan diagrammin merkitys on siinä, miten ne menevät päällekkäin., Paikkatietojen suhteita alueet rajaavat kukin käyrä (päällekkäisyys, eristäminen tai ei kumpikaan) vastaa set-theoretic suhteita (risteys, osajoukko ja disjointness). Käyrät, joiden sisävyöhykkeet eivät leikkaa, edustavat disjoint-sarjoja. Kaksi käyrää, joiden sisävyöhykkeet intersect edustavat sarjaa, joilla on yhteisiä elementtejä; vyöhykkeen sisällä molemmat käyrät edustaa joukko yhteisiä elementtejä molemmat sarjat (risteysalueiden asetetaan). Käyrä, joka on täysin sisällä sisätilojen alueella toisen edustaa osajoukko sitä., Euler kaaviot (ja niiden hienostuneisuutta Venn kaaviot) oli sisällytetty osana opetusta set theory osana uuden matematiikan liike 1960-luvulla. Sittemmin ne on otettu käyttöön myös muita opetussuunnitelman aloilla, kuten lukeminen.

Musiikki

Vaikka kyse musiikista, Eulerin lähestymistapa on lähinnä matemaattisia. Hänen kirjoituksissaan, musiikki ei ole erityisen paljon (muutama sata sivua, hänen kokonaistuotannosta noin kolmekymmentä tuhatta sivua), mutta ne heijastavat varhainen huoli ja yksi, joka ei jätä häntä koko hänen elämänsä.,

Euler kehitti erityisiä kuvaaja, Speculum musicum, havainnollistaa diatonico-kromaattinen genre, ja keskusteltiin polkuja tässä kaaviossa tietyn väliajoin, muistuttaa hänen kiinnostuksensa Seitsemän Königsbergin Sillat (ks.edellä). Laite herätti uutta kiinnostusta, koska Tonnetz neo-Riemannin teoriassa (Katso myös ristikko (musiikki)).

Euler edelleen käyttää periaatetta ”eksponentti” ehdottaa johtaminen gradus suavitatis (aste suavity, of agreeableness) välein ja soinnut niiden prime tekijät – yksi on pidettävä mielessä, että hän katsoi vain intonaatio, eli, 1 ja alkuluvut 3 ja 5 vain. Kaavat on ehdotettu laajentaa tämä järjestelmä tahansa määrä prime-numerot, esim. muodossa,

ds = Σ (kipi – ki) + 1

missä pi ovat alkulukuja ja ki niiden eksponentit.