Leonhard Euler (Magyar)

Euler a matematika szinte minden területén dolgozott, mint például a geometria, az infinitezimális kalkulus, a trigonometria, az algebra és a számelmélet, valamint a kontinuumfizika, a holdelmélet és a fizika egyéb területei. A matematika történetének meghatározó alakja; ha kinyomtatják, művei, amelyek közül sok alapvető fontosságú, 60-80 kvartó kötetet foglalnak el. Euler neve számos témához kapcsolódik.,

Euler csak a matematikus, hogy két szám neveztek el róla: a fontos Euler szám a kalkulus, e, körülbelül egyenlő 2.71828, az Euler–Mascheroni állandó γ (gamma) néha a továbbiakban csak “Euler konstans”, körülbelül egyenlő 0.57721. Nem ismert, hogy γ racionális vagy irracionális.

matematikai jelölés

Euler számos közjegyzői konvenciót vezetett be és népszerűsített számos, széles körben terjesztett tankönyvén keresztül., Leginkább, bevezette a funkció volt az első, hogy írjon az f(x) jelöli az f függvény alkalmazása a vita x. Azt is be a modern jelölés a trigonometrikus függvények, az e betűt az alapja a természetes logaritmusát (most is ismert, mint az Euler-szám), a görög betű Σ számára némi esélyünk a levélben pedig azt jelöli, hogy az imaginárius egység. A π görög betű használatát a kör kerületének átmérőjéhez viszonyított arányának jelölésére Euler is népszerűsítette, bár William Jones walesi matematikustól származik.,

analízis

az infinitezimális kalkulus fejlődése a 18. századi matematikai kutatás élvonalában volt, a Bernoullis-család Euler barátai-felelősek voltak a terület korai előrehaladásáért. Hatásuknak köszönhetően a kalkulus tanulmányozása Euler munkájának fő fókuszává vált. Míg Euler néhány bizonyítéka nem elfogadható a matematikai szigor modern normái által (különösen az algebra általánosságának elvére való támaszkodása), ötletei sok nagy előrelépéshez vezettek.,Euler a hatalmi sorozatok gyakori használatáról és fejlődéséről jól ismert, a függvények kifejezése végtelenül sok kifejezés összegeként, például

e x = ∑ n = 0 ∞ x n ! = lim n → ∞ (10 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!} = \lim _{N \to\infty} \ left ({\frac {1}{0!}} + {\frac{x} {1!}} +{\frac {x^{2}} {2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}} \ jobb).}

az Euler közvetlenül bizonyította az e és az inverz érintőfüggvény teljesítménysorozatának kiterjesztését., (Indirekt bizonyíték az inverz energiasorozat technikáján keresztül Newton és Leibniz adta 1670 és 1680 között.) A hatalmi sorozat merész használata lehetővé tette számára, hogy 1735-ben megoldja a híres Bázeli problémát (1741-ben bonyolultabb érvet adott):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 N 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }{1 \ over n^{2}} = \ lim _{N \ to \ infty } \ left ({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1} {n^{2}}}} \ right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler bevezette az exponenciális függvény és logaritmusok használatát analitikai bizonyítékokban. Ő fedezte fel módon kifejezni különböző logaritmikus függvények használata power sorozat, de ő sikeresen meghatározott logaritmus negatív, komplex számok, így jelentősen bővülő körét matematikai alkalmazások a logaritmus. A komplex számok exponenciális függvényét is meghatározta, és felfedezte a trigonometrikus függvényekhez való viszonyát., Bármely valós szám φ (venni, hogy radiánok), Euler képlet kimondja, hogy a komplex exponenciális függvény megfelel

e φ = cos ⁡ φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i\varphi } = \ cos \ varphi + i \sin \ varphi .}

a fenti képlet egy speciális esetét Euler identitásának nevezik,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Richard P. Feynman “a matematika legfigyelemreméltóbb képletének” nevezte, az összeadás, a szorzás, az exponencia és az egyenlőség fogalmainak egyetlen felhasználására, valamint a fontos konstansok egyszeri felhasználására 0, 1, e, i és π., 1988-ban a matematikai értelmező olvasói “a legszebb matematikai képlet valaha”szavazták meg. Összesen Euler volt felelős az öt legjobb képletért a szavazásban.

de Moivre képlete az Euler képletének közvetlen következménye.

Euler a gamma-függvény bevezetésével dolgozta ki a magasabb transzcendentális függvények elméletét, és új módszert vezetett be a kvartikus egyenletek megoldására. Megtalálta a módját, hogy kiszámítsa az integrálokat komplex korlátokkal, előrevetítve a modern komplex elemzés fejlődését., Feltalálta a variációk számítását, beleértve annak legismertebb eredményét, az Euler–Lagrange-egyenletet.

Euler úttörő szerepet játszott az analitikus módszerek használatában a Számelméleti problémák megoldására. Ennek során egyesítette a matematika két különböző ágát, és bevezette egy új tanulmányi területet, az analitikus számelméletet. Ennek az új mezőnek a lebontásában Euler létrehozta a hipergeometrikus sorozat, a q-sorozat, a hiperbolikus trigonometrikus függvények elméletét és a folytonos frakciók analitikus elméletét., Például bebizonyította a prímek végtelenségét a harmonikus sorozat divergenciájával, analitikus módszereket alkalmazott, hogy megértse a prímszámok elosztásának módját. Euler munkája ezen a területen a prímszám-tétel kialakulásához vezetett.

Számelmélet

Euler érdeklődése a számelmélet iránt Christian Goldbach, a szentpétervári akadémia barátja hatására vezethető vissza. Számos Euler korai munkája a számelméletről Pierre de Fermat munkáin alapult. Euler kidolgozta Fermat néhány ötletét, és megcáfolta néhány sejtését.,

Euler az elsődleges Eloszlás természetét az elemzésben szereplő ötletekkel kapcsolta össze. Bebizonyította, hogy a prímek viszonjainak összege eltér. Ennek során felfedezte a kapcsolatot a Riemann-zéta-függvény és a prímszámok között; ezt nevezik a Riemann-zéta-függvény Euler-termékképletének.

Euler bizonyította Newton identitását, Fermat kis tételét, Fermat tételét két négyzet összegére, és külön-külön hozzájárult Lagrange négyzetes tételéhez., Ő találta fel a totient függvény φ(n), a szám pozitív egész szám kisebb vagy egyenlő, mint az egész n, hogy relatív prímek n. Használata tulajdonságai ez a funkció, hogy generalizált kis Fermat-tétel, amit most az úgynevezett Euler-tétel. Jelentősen hozzájárult a tökéletes számok elméletéhez, amely Euclid óta lenyűgözte a matematikusokat. Bebizonyította, hogy az Euclid által korábban bizonyított, még tökéletes számok és Mersenne prímek közötti kapcsolat egy-egy, más néven Euclid–Euler-tétel., Euler a másodfokú viszonosság törvényét is feltételezte. A koncepciót a számelmélet alapvető tételének tekintik, ötletei előkészítették az utat Carl Friedrich munkájához Gauss.By 1772 Euler bebizonyította, hogy a 231-1 = 2,147,483,647 Mersenne-prím. 1867-ig a legnagyobb ismert prím maradt.

Gráfelmélet

1735-ben Euler megoldást mutatott a Königsberg hét Hídjaként ismert problémára. A poroszországi Königsberg városát a Pregel folyón helyezték el, és két nagy szigetet foglal magába, amelyeket hét híd köt össze egymással és a szárazfölddel. A probléma az, hogy eldöntsük, hogy lehetséges-e egy olyan utat követni, amely pontosan egyszer keresztezi az egyes hídokat, majd visszatér a kiindulási ponthoz. Ez nem lehetséges: nincs Euler kör. Ezt a megoldást tekintik a gráfelmélet első tételének, különösen a planáris gráfelméletnek.,

Euler is felfedezték a forma-V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} kapcsolatos száma, csúcsok, élek, s arcán egy konvex poliéder, ezért egy síkbeli rajz. A konstans ebben a képletben ma már ismert, mint az Euler jellemző a gráf (vagy más matematikai objektum), és kapcsolódik a nemzetség az objektum. Ennek a képletnek a tanulmányozása és általánosítása, különösen Cauchy és L ‘ Huilier által, a topológia eredője.,

Alkalmazott matematika

Néhány Euler legnagyobb sikerei voltak a megoldása valós problémák analitikus, illetve a leíró, számos alkalmazás, a Bernoulli-számok, Fourier-sor, Euler számok, a állandók e π, folyamatos frakciók pedig integrálok. Integrálta Leibniz differenciálszámítását Newton Fluxiós módszerével, és olyan eszközöket fejlesztett ki, amelyek megkönnyítették a kalkulus fizikai problémákra történő alkalmazását. Nagy lépéseket tett az integrálok numerikus közelítésének javításában, feltalálva azt, amit ma Euler közelítésnek neveznek., Ezek közül a legjelentősebb az Euler–módszer és az Euler-Maclaurin-képlet. Megkönnyítette a differenciálegyenletek alkalmazását is, különösen az Euler–Mascheroni-állandó bevezetését:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ ( n)). {\displaystyle \ gamma = \ lim _{n \ rightarrow \ infty } \ left (1 + {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}} + \ cdots + {\frac {1}{n}} – \ ln (N) \ right).}

Euler egyik szokatlan érdeklődése a matematikai ötletek alkalmazása volt a zenében., 1739-ben írta a tentamen novae theoriae musicae-t, abban a reményben, hogy végül a zeneelméletet a matematika részévé teszi. Munkásságának ez a része azonban nem kapott nagy figyelmet, és egykor a zenészek számára túlságosan matematikai, a matematikusok számára pedig túl Zenei volt.

1911–ben, majdnem 130 évvel Euler halála után, Alfred J. Lotka Euler munkáját használta az Euler-Lotka egyenlet levezetésére az életkorral strukturált populációk népességnövekedési arányának kiszámításához, amely alapvető módszer a populációbiológiában és az ökológiában.,

fizika és csillagászat

Euler segített kifejleszteni az Euler-Bernoulli sugáregyenletet, amely a mérnöki munka sarokkövévé vált. Amellett, hogy analitikus eszközeit sikeresen alkalmazta a klasszikus mechanika problémáira, Euler ezeket a technikákat égi problémákra alkalmazta. Csillagászati munkásságát pályafutása során több párizsi Akadémia díjjal ismerték el. Eredményei közé tartozik az üstökösök és más égitestek pályáinak nagy pontossággal történő meghatározása, az üstökösök természetének megértése, valamint a nap parallaxisának kiszámítása., Számításai hozzájárultak a pontos hosszúsági táblázatok kialakításához.

Euler fontos szerepet játszott az optikában. Nem értett egyet Newton korpuszkuláris fényelméletével az Optikákban, ami akkoriban az uralkodó elmélet volt. Az optikáról szóló 1740-es évekbeli tanulmányai segítettek abban, hogy a Christiaan Huygens által javasolt fény hullámelmélete a domináns gondolkodásmód legyen, legalábbis a fény kvantumelméletének kifejlesztéséig.

1757-ben fontos egyenletkészletet tett közzé az inviscid áramláshoz, amelyeket ma Euler egyenleteknek neveznek.,jön létre (\rho {\mathbf {u} }) \over \részleges t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \részleges t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{igazítva}}}

, ahol a

• ρ a folyadék tömeg, sűrűség,
• u a folyadék sebesség vektor, alkatrészek u, v, w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) a teljes energia egységnyi térfogat, az e, hogy a belső energia egységnyi tömeg a folyadék,
• a p a nyomás,
• ⊗ jelöli a tenzor termék,
• 0, hogy a nulla vektor.,

Euler jól ismert építőmérnöki a képlet, amely a kritikus kihajlási terhelés ideális parádézik, amely csak attól függ a hossza, flexural merevség:

F = π 2 E i ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

, ahol a

• F = maximális vagy kritikus erő (függőleges terhelés oszlop),
• E = rugalmassági modulus,
• I = terület, tehetetlenségi nyomaték,
• L = nem támogatott hossza oszlop
• a K = oszlop hatékony hossza tényező, amelynek értéke attól függ, hogy a feltételek a végén támogatás az oszlop, a következőképpen.,

mindkét végén rögzített (csuklós, szabadon forgatható), K = 1.0. Mindkét végén rögzített, K = 0,50. Az egyik végén rögzített, a másik végén rögzített, K = 0.699… az egyik végén rögzített, a másik végén szabadon mozog oldalirányban, K = 2.0.

• k l az oszlop tényleges hossza.

logika

az Euler-t zárt görbék használatával írják le a syllogisztikus érvelés szemléltetésére (1768). Ezek a diagramok vált ismertté, mint Euler diagramok.,

az Euler-diagram a halmazok és azok összefüggéseinek ábrázolására szolgáló diagrammatikus eszköz. Az Euler-diagramok egyszerű zárt görbékből (általában körökből) állnak a halmazokat ábrázoló síkban. Minden Euler-görbe két régióra vagy “zónákra” osztja a síkot: a belső tér, amely szimbolikusan képviseli a készlet elemeit, valamint a külső, amely minden olyan elemet képvisel, amely nem tagja a készletnek. A görbék mérete vagy alakja nem fontos; a diagram jelentősége abban rejlik, hogy átfedik egymást., A térbeli viszonyok között a régiók által határolt minden görbe (átfedés, elszigetelés vagy sem) megfelel set-elméleti kapcsolatok (metszet, részhalmaz, valamint disjointness). Azok a görbék, amelyek belső zónái nem metszik egymást, diszjunkciós készleteket képviselnek. Két görbe, amelynek belső zónái metszenek, olyan halmazokat ábrázol, amelyeknek közös elemei vannak; a mindkét görbén belüli zóna a mindkét halmazra jellemző elemek halmazát képviseli (a halmazok metszéspontja). Egy görbe, amely teljesen a másik belső zónáján belül van, annak egy részét képviseli., Az Euler-diagramokat (és azok Venn-diagramokhoz való finomítását) az 1960-as években az új matematikai mozgalom részeként beépítették az oktatás részeként a halmazelméletbe. azóta más tantervek, például az olvasás is elfogadták őket.

Zene

még akkor is, ha zenével foglalkozik, Euler megközelítése elsősorban matematikai. Zenei írásai nem különösebben sokak (néhány száz oldal, összesen mintegy harmincezer oldalas produkciójában), de egy korai foglalkozást tükröznek, amely egész életében nem hagyta el őt.,

Euler kidolgozott egy konkrét gráfot, a Speculum musicumot, hogy bemutassa a diatonico-kromatikus műfajt, és ebben a grafikonban meghatározott időközönként megvitatta az útvonalakat, emlékeztetve érdeklődésére Königsberg hét hídja iránt (lásd fent). A készülék megújult érdeklődést keltett, mint a Neo-Riemannian elmélet Tonnetzje (Lásd még a rácsot (zene)).

Euler továbbá az “exponens” elvét arra használta, hogy a gradus suavitatis (a suavititás mértéke, a kellemesség mértéke) levezetését javasolja az intervallumokból és akkordokból elsődleges tényezőikből – szem előtt kell tartani, hogy csak intonációt, azaz., 1 és csak a 3 és 5 prímszámok. Képleteket javasoltak a rendszer tetszőleges számú prímszámra való kiterjesztésére, például

ds = Σ (kipi – ki) + 1

formában, ahol a PI prímszámok és ki exponensek.