Leonhard Euler (Italiano)

Eulero ha lavorato in quasi tutte le aree della matematica, come la geometria, il calcolo infinitesimale, la trigonometria, l’algebra e la teoria dei numeri, così come la fisica del continuo, la teoria lunare e altre aree della fisica. Egli è una figura seminale nella storia della matematica; se stampato, le sue opere, molti dei quali sono di fondamentale interesse, occuperebbe tra 60 e 80 quarto volumi. Il nome di Eulero è associato a un gran numero di argomenti.,

Eulero è l’unico matematico ad avere due numeri che portano il suo nome: l’importante numero di Eulero nel calcolo, e, approssimativamente uguale a 2,71828, e la costante di Eulero–Mascheroni γ (gamma) a volte indicata come “costante di Eulero”, approssimativamente uguale a 0,57721. Non è noto se γ sia razionale o irrazionale.

Notazione matematica

Eulero introdusse e divulgò diverse convenzioni notazionali attraverso i suoi numerosi e diffusi libri di testo., Più in particolare, è stato introdotto il concetto di funzione e stato il primo a scrivere f(x) per indicare la funzione f applicata all’argomento x. Egli ha anche introdotto la notazione moderna per le funzioni trigonometriche, lettera e per la base del logaritmo naturale (ora noto anche come numero di Eulero), la lettera greca Σ per sommatorie e la lettera i per indicare l’unità immaginaria. L’uso della lettera greca π per indicare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro è stato anche reso popolare da Eulero, anche se ha avuto origine con il matematico gallese William Jones.,

Analisi

Lo sviluppo del calcolo infinitesimale fu all’avanguardia nella ricerca matematica del xviii secolo, e i Bernoullis-amici di famiglia di Eulero—furono responsabili di gran parte dei primi progressi nel campo. Grazie alla loro influenza, lo studio del calcolo divenne l’obiettivo principale del lavoro di Eulero. Mentre alcune delle prove di Eulero non sono accettabili dai moderni standard di rigore matematico (in particolare la sua dipendenza dal principio della generalità di algebra), le sue idee ha portato a molti grandi progressi.,Eulero è ben noto in analisi per il suo uso frequente e lo sviluppo di serie di potenze, l’espressione di funzioni come somme di infiniti termini, come

e x = n n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + x + x n n ! ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!} = \ lim _ {n \ a \ infty } \ left ({\frac {1}{0!}} +{\frac {x} {1!}} +{\frac {x^{2}} {2!}} + \ cdots +{\frac {x^{n}} {n!}}\diritto).}

Eulero ha dimostrato direttamente le espansioni della serie di potenze per e e la funzione tangente inversa., (La prova indiretta tramite la tecnica delle serie di potenze inverse è stata data da Newton e Leibniz tra il 1670 e il 1680.) Il suo audace uso delle serie di potenze gli permise di risolvere il famoso problema di Basilea nel 1735 (fornì un argomento più elaborato nel 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Eulero introdusse l’uso della funzione esponenziale e dei logaritmi nelle prove analitiche. Ha scoperto modi per esprimere varie funzioni logaritmiche utilizzando serie di potenze, e ha definito con successo i logaritmi per i numeri negativi e complessi, ampliando così notevolmente la portata delle applicazioni matematiche dei logaritmi. Ha anche definito la funzione esponenziale per i numeri complessi, e ha scoperto la sua relazione con le funzioni trigonometriche., Per qualsiasi numero reale φ (preso come radianti), la formula di Eulero afferma che la funzione esponenziale complessa soddisfa

e i φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i \ varphi} = \ cos \ varphi +i \ sin \ varphi .}

Un caso speciale della formula di cui sopra è noto come identità di Eulero,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

chiamato “la formula più notevole in matematica” da Richard P. Feynman, per i suoi singoli usi delle nozioni di addizione, moltiplicazione, esponenziazione e uguaglianza, e i singoli usi delle costanti importanti 0, 1, e, i e π., Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer lo votarono “la più bella formula matematica di sempre”. In totale, Eulero era responsabile di tre delle prime cinque formule in quel sondaggio.

La formula di De Moivre è una conseguenza diretta della formula di Eulero.

Eulero elaborò la teoria delle funzioni trascendentali superiori introducendo la funzione gamma e introdusse un nuovo metodo per risolvere equazioni quartiche. Ha trovato un modo per calcolare integrali con limiti complessi, prefigurando lo sviluppo della moderna analisi complessa., Ha inventato il calcolo delle variazioni tra cui il suo risultato più noto, l’equazione di Eulero-Lagrange.

Eulero ha aperto la strada all’uso di metodi analitici per risolvere problemi di teoria dei numeri. In tal modo, ha unito due rami disparati della matematica e ha introdotto un nuovo campo di studio, la teoria analitica dei numeri. Nel terreno di rottura per questo nuovo campo, Eulero ha creato la teoria delle serie ipergeometriche, serie q, funzioni trigonometriche iperboliche e la teoria analitica delle frazioni continue., Ad esempio, ha dimostrato l’infinitezza dei numeri primi utilizzando la divergenza della serie armonica, e ha usato metodi analitici per ottenere una certa comprensione del modo in cui i numeri primi sono distribuiti. Il lavoro di Eulero in questo settore ha portato allo sviluppo del teorema dei numeri primi.

Teoria dei numeri

L’interesse di Eulero per la teoria dei numeri può essere ricondotto all’influenza di Christian Goldbach, suo amico nell’Accademia di San Pietroburgo. Molti dei primi lavori di Eulero sulla teoria dei numeri si basarono sulle opere di Pierre de Fermat. Eulero sviluppò alcune delle idee di Fermat e confutò alcune delle sue congetture.,

Eulero ha collegato la natura della distribuzione primaria con le idee in analisi. Ha dimostrato che la somma dei reciproci dei numeri primi diverge. In tal modo, scoprì la connessione tra la funzione zeta di Riemann e i numeri primi; questo è noto come la formula del prodotto di Eulero per la funzione zeta di Riemann.

Eulero dimostrò le identità di Newton, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati, e diede contributi distinti al teorema dei quattro quadrati di Lagrange., Ha anche inventato la funzione totient φ (n), il numero di interi positivi minore o uguale al numero intero n che sono coprimi a n. Usando le proprietà di questa funzione, ha generalizzato il piccolo teorema di Fermat a quello che ora è noto come teorema di Eulero. Ha contribuito in modo significativo alla teoria dei numeri perfetti, che aveva affascinato matematici dal Euclide. Dimostrò che la relazione mostrata tra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne precedentemente dimostrata da Euclide era uno a uno, un risultato altrimenti noto come teorema di Euclide–Eulero., Eulero anche congetturato la legge di reciprocità quadratica. Il concetto è considerato come un teorema fondamentale della teoria dei numeri, e le sue idee aperto la strada per il lavoro di Carl Friedrich Gauss.By 1772 Eulero aveva dimostrato che 231-1 = 2.147.483.647 è un primo di Mersenne. Potrebbe essere rimasto il più grande primo conosciuto fino al 1867.

Teoria dei grafi

Nel 1735, Eulero presentò una soluzione al problema noto come i Sette Ponti di Königsberg. La città di Königsberg, in Prussia, era situata sul fiume Pregel e comprendeva due grandi isole collegate tra loro e la terraferma da sette ponti. Il problema è decidere se è possibile seguire un percorso che attraversa ogni ponte esattamente una volta e ritorna al punto di partenza. Non è possibile: non esiste un circuito euleriano. Questa soluzione è considerata il primo teorema della teoria dei grafi, in particolare della teoria dei grafi planari.,

Eulero scoprì anche la formula V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} relativa al numero di vertici, bordi e facce di un poliedro convesso, e quindi di un grafico planare. La costante in questa formula è ora conosciuta come la caratteristica di Eulero per il grafico (o altro oggetto matematico) ed è correlata al genere dell’oggetto. Lo studio e la generalizzazione di questa formula, in particolare da Cauchy e L’Huilier, è all’origine della topologia.,

Matematica applicata

Alcuni dei più grandi successi di Eulero furono nella risoluzione analitica di problemi reali e nella descrizione di numerose applicazioni dei numeri di Bernoulli, serie di Fourier, numeri di Eulero, costanti e e π, frazioni continue e integrali. Ha integrato il calcolo differenziale di Leibniz con il Metodo delle Fluxioni di Newton e ha sviluppato strumenti che hanno reso più facile applicare il calcolo ai problemi fisici. Fece grandi passi avanti nel migliorare l’approssimazione numerica degli integrali, inventando quelle che ora sono note come approssimazioni di Eulero., La più notevole di queste approssimazioni sono il metodo di Eulero e la formula di Eulero–Maclaurin. Ha anche facilitato l’uso di equazioni differenziali, in particolare introducendo la costante di Eulero-Mascheroni:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ (n)). {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

Uno degli interessi più insoliti di Eulero era l’applicazione delle idee matematiche nella musica., Nel 1739 scrisse il Tentamen novae theoriae musicae, sperando di incorporare alla fine la teoria musicale come parte della matematica. Questa parte del suo lavoro, tuttavia, non ha ricevuto ampia attenzione e una volta è stato descritto come troppo matematico per i musicisti e troppo musicale per i matematici.

Nel 1911, quasi 130 anni dopo la morte di Eulero, Alfred J. Lotka utilizzò il lavoro di Eulero per ricavare l’equazione di Eulero–Lotka per calcolare i tassi di crescita della popolazione per le popolazioni strutturate per età, un metodo fondamentale che è comunemente usato nella biologia della popolazione e nell’ecologia.,

Fisica e astronomia

Eulero aiutò a sviluppare l’equazione del fascio di Eulero–Bernoulli, che divenne una pietra angolare dell’ingegneria. Oltre ad applicare con successo i suoi strumenti analitici ai problemi della meccanica classica, Eulero applicò queste tecniche ai problemi celesti. Il suo lavoro in astronomia è stato riconosciuto da più premi dell’Accademia di Parigi nel corso della sua carriera. I suoi risultati includono determinare con grande precisione le orbite delle comete e di altri corpi celesti, comprendere la natura delle comete e calcolare la parallasse del Sole., I suoi calcoli hanno contribuito allo sviluppo di tabelle di longitudine accurate.

Eulero ha dato importanti contributi in ottica. Non era d’accordo con la teoria corpuscolare della luce di Newton negli Opticks, che era allora la teoria prevalente. I suoi documenti del 1740 sull’ottica contribuirono a garantire che la teoria delle onde della luce proposta da Christiaan Huygens sarebbe diventata la modalità dominante di pensiero, almeno fino allo sviluppo della teoria quantistica della luce.

Nel 1757 pubblicò un importante insieme di equazioni per il flusso inviscido, che ora sono note come equazioni di Eulero.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho, \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

dove

• ρ è il fluido di densità di massa,
• u è la velocità del fluido vettore con componenti u, v e w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) è l’energia totale per unità di volume, con e di essere l’energia interna per unità di massa del fluido,
• p è la pressione,
• ⊗ indica il tensore di prodotto, e
• 0 il vettore zero.,

di Eulero è ben noto in ingegneria strutturale per la sua formula che fornisce il carico critico di instabilità di un ideale puntone, che dipende solo dalla sua lunghezza e rigidità flessionale:

F = π 2 E I ( K, L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

dove

• F = massimo o forza critica (carico verticale sulla colonna),
• E = modulo di elasticità,
• I = momento di inerzia,
• L = lunghezza non supportata di colonna,
• K = colonna lunghezza efficace fattore il cui valore dipende dalle condizioni del supporto della colonna, come illustrato di seguito.,

Per entrambe le estremità appuntate (incernierate, libere di ruotare), K = 1.0. Per entrambe le estremità fisse, K = 0,50. Per un’estremità fissa e l’altra estremità appuntata, K = 0.699 For Per un’estremità fissa e l’altra estremità libera di muoversi lateralmente, K = 2.0.

• K L è la lunghezza effettiva della colonna.

Logica

Eulero è accreditato con l’uso di curve chiuse per illustrare il ragionamento sillogistico (1768). Questi diagrammi sono diventati noti come diagrammi di Eulero.,

Un diagramma di Eulero è un mezzo diagrammatico per rappresentare insiemi e le loro relazioni. I diagrammi di Eulero consistono in semplici curve chiuse (di solito cerchi) nel piano che raffigurano gli insiemi. Ogni curva di Eulero divide il piano in due regioni o “zone”: l’interno, che rappresenta simbolicamente gli elementi dell’insieme, e l’esterno, che rappresenta tutti gli elementi che non sono membri dell’insieme. Le dimensioni o le forme delle curve non sono importanti; il significato del diagramma è nel modo in cui si sovrappongono., Le relazioni spaziali tra le regioni delimitate da ciascuna curva (sovrapposizione, contenimento o nessuna delle due) corrispondono alle relazioni teoriche dell’insieme (intersezione, sottoinsieme e disgiunzione). Le curve le cui zone interne non si intersecano rappresentano insiemi disgiunti. Due curve le cui zone interne si intersecano rappresentano insiemi che hanno elementi comuni; la zona all’interno di entrambe le curve rappresenta l’insieme di elementi comuni a entrambi gli insiemi (l’intersezione degli insiemi). Una curva che è contenuta completamente all’interno della zona interna di un’altra rappresenta un sottoinsieme di essa., Diagrammi di Eulero (e la loro raffinatezza ai diagrammi di Venn) sono stati incorporati come parte di istruzione in teoria degli insiemi come parte del nuovo movimento matematica nel 1960. Da allora, sono stati adottati anche da altri campi curriculum come la lettura.

Musica

Anche quando si tratta di musica, l’approccio di Eulero è principalmente matematico. I suoi scritti sulla musica non sono particolarmente numerosi (poche centinaia di pagine, nella sua produzione totale di circa trentamila pagine), ma riflettono una preoccupazione iniziale e una che non lo ha lasciato per tutta la vita.,

Eulero ideò un grafico specifico, lo Speculum musicum, per illustrare il genere diatonico-cromatico, e discusse i percorsi in questo grafico per intervalli specifici, ricordando il suo interesse per i Sette Ponti di Königsberg (vedi sopra). Il dispositivo ha attirato rinnovato interesse come il Tonnetz nella teoria neo-riemanniana (vedi anche Reticolo (musica)).

Eulero utilizzò ulteriormente il principio dell ‘ “esponente” per proporre una derivazione del gradus suavitatis (grado di suavità, di gradevolezza) degli intervalli e degli accordi dai loro fattori primi – bisogna tenere presente che egli considerava solo l’intonazione, cioè, 1 e solo i numeri primi 3 e 5. Sono state proposte formule che estendono questo sistema a qualsiasi numero di numeri primi, ad esempio nella forma

ds = Σ (kipi – ki) + 1

dove pi sono numeri primi e ki i loro esponenti.