Leonhard Euler

Euler werkte in bijna alle deelgebieden van de wiskunde, zoals de meetkunde, de infinitesimale calculus, de trigonometrie, de algebra en de getaltheorie, evenals de continuümfysica, de maantheorie en andere deelgebieden van de natuurkunde. Hij is een baanbrekend figuur in de geschiedenis van de wiskunde; indien gedrukt, zouden zijn werken, waarvan vele van fundamenteel belang zijn, tussen 60 en 80 kwarto-volumes beslaan. De naam van Euler wordt geassocieerd met een groot aantal onderwerpen.,

Euler is de enige wiskundige die twee getallen naar hem heeft vernoemd: het belangrijke Euler–getal in de calculus, e, ongeveer gelijk aan 2,71828, en de Euler-Mascheroni-constante γ (gamma), soms aangeduid als gewoon “Euler-constante”, ongeveer gelijk aan 0,57721. Het is niet bekend of γ rationeel of irrationeel is.mathematische notatie

Euler introduceerde en populariseerde verschillende notatieconventies door middel van zijn talrijke en wijdverspreide leerboeken., Hij introduceerde het concept van een functie en was de eerste die F(x) schreef om de functie f aan te duiden die wordt toegepast op het argument x. hij introduceerde ook de moderne notatie voor de trigonometrische functies, de letter e voor de basis van de natuurlijke logaritme (nu ook bekend als het getal van Euler), de Griekse letter Σ Voor sommaties en de letter i om de imaginaire eenheid aan te duiden. Het gebruik van de Griekse letter π om de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter aan te geven werd ook gepopulariseerd door Euler, hoewel het oorspronkelijk afkomstig was van de Welshe wiskundige William Jones.,

analyse

de ontwikkeling van infinitesimale calculus stond aan de voorhoede van het 18e-eeuwse wiskundig onderzoek, en de Bernoullis—familievrienden van Euler—waren verantwoordelijk voor een groot deel van de vroege vooruitgang op dit gebied. Dankzij hun invloed werd het bestuderen van calculus de belangrijkste focus van Eulers werk. Hoewel sommige van Eulers bewijzen niet aanvaardbaar zijn voor de moderne normen van wiskundige striktheid (in het bijzonder zijn vertrouwen op het principe van de algemeenheid van de algebra), leidden zijn ideeën tot vele grote vooruitgang.,Euler is in de analyse bekend om zijn frequente gebruik en ontwikkeling van machtseries, de uitdrukking van functies als sommen van oneindig veel termen, zoals

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ (10 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n = 0}^{\infty }{x^{n} \ over n!} = \lim _{n\to \infty }\left ({\frac {1}{0!}} + {\frac {x}{1!}} + {\frac {x^{2}} {2!}} + \ cdots +{\frac {x^{n}} {n!}}\recht).}

Euler bewees direct de expansies van de machtseries voor e en de inverse raaklijnfunctie., (Indirect bewijs via de inverse power series techniek werd gegeven door Newton en Leibniz tussen 1670 en 1680.) Zijn gedurfde gebruik van macht series stelde hem in staat om het beroemde Basel probleem op te lossen in 1735 (hij gaf een meer uitgebreid argument in 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \ sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\naar \ infty } \ left ({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right) = {\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler introduceerde het gebruik van de exponentiële functie en logaritmen in analytische bewijzen. Hij ontdekte manieren om verschillende logaritmische functies uit te drukken met behulp van machtseries, en hij definieerde met succes logaritmen voor negatieve en complexe getallen, waardoor het toepassingsgebied van wiskundige toepassingen van logaritmen aanzienlijk werd uitgebreid. Hij definieerde ook de exponentiële functie voor complexe getallen, en ontdekte de relatie met de trigonometrische functies., Voor elk reëel getal φ (aangenomen radialen) stelt de formule van Euler dat de complexe exponentiële functie voldoet aan

e i φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i \ varphi } = \ cos \ varphi +i \ sin \ varphi .}

een speciaal geval van de bovenstaande formule staat bekend als Euler ’s identiteit,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i \ pi }+1 = 0}

genoemd “de meest opmerkelijke formule in de wiskunde” door Richard P. Feynman, vanwege het enkelvoudige gebruik van de noties van optellen, vermenigvuldigen, exponentiatie en gelijkheid, en het enkelvoudige gebruik van de belangrijke constanten 0, 1, e, i en π., In 1988 verkozen lezers van de wiskundige Intelligencer het tot “de mooiste wiskundige formule ooit”. In totaal was Euler verantwoordelijk voor drie van de top vijf formules in die poll.de formule van de Moivre is een direct gevolg van de formule van Euler.

Euler ontwikkelde de theorie van hogere transcendentale functies door de gammafunctie te introduceren en introduceerde een nieuwe methode voor het oplossen van kwartische vergelijkingen. Hij vond een manier om integralen met complexe grenzen te berekenen, een voorafschaduwing van de ontwikkeling van moderne complexe analyse., Hij vond de variatierekening uit, inclusief het bekendste resultaat, de Euler-Lagrange-vergelijking.

Euler was een pionier in het gebruik van analytische methoden om problemen met de getaltheorie op te lossen. Hiermee Verenigde hij twee verschillende takken van de wiskunde en introduceerde hij een nieuw studiegebied, de analytische getaltheorie. Euler ontwikkelde de theorie van de hypergeometrische reeksen, de q-reeksen, de hyperbolische trigonometrische functies en de analytische theorie van de voortgezette fracties., Bijvoorbeeld, hij bewees de oneindigheid van priemgetallen met behulp van de divergentie van de harmonische reeks, en hij gebruikte analytische methoden om enig begrip te krijgen van de manier waarop priemgetallen worden verdeeld. Eulers werk op dit gebied leidde tot de ontwikkeling van de priemgetalstelling.Eulers interesse in de getaltheorie kan worden teruggevoerd op de invloed van Christian Goldbach, zijn vriend in de Academie van Sint-Petersburg. Veel van Eulers vroege werk over de getaltheorie was gebaseerd op de werken van Pierre de Fermat. Euler ontwikkelde enkele van Fermats ideeën en weerlegde enkele van zijn vermoedens.,

Euler koppelde de aard van primedistributie aan ideeën in de analyse. Hij bewees dat de som van de reciproken van de priemgetallen uiteenloopt. Hiermee ontdekte hij het verband tussen de Riemann-zèta-functie en de priemgetallen; dit staat bekend als de Euler-productformule voor de Riemann-zèta-functie.

Euler bewees Newton ‘ s identiteiten, de kleine stelling van Fermat, de stelling van Fermat over sommen van twee kwadraten, en hij leverde verschillende bijdragen aan de vier-kwadratenstelling van Lagrange., Hij vond ook de totiente functie φ(n) uit, het aantal positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan het gehele getal n die coprime tot n zijn. met behulp van eigenschappen van deze functie veralgemeende hij de kleine stelling van Fermat tot wat nu bekend staat als de stelling van Euler. Hij heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de theorie van de perfecte getallen, die wiskundigen sinds Euclides had gefascineerd. Hij bewees dat de relatie tussen zelfs perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen die eerder door Euclides werden bewezen één-op–één was, een resultaat dat ook wel bekend staat als de stelling van Euclides-Euler., Euler vermoedde ook de wet van kwadratische wederkerigheid. Het concept wordt beschouwd als een fundamentele stelling van de getaltheorie, en zijn ideeën effende de weg voor het werk van Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler had bewezen dat 231-1 = 2.147.483.647 een mersennepriem is. Het kan tot 1867 het grootste bekende priemgetal zijn geweest.

Graph theory

in 1735 presenteerde Euler een oplossing voor het probleem dat bekend staat als de zeven bruggen van Koningsbergen. De stad Königsberg, Pruisen lag aan de Pregel en omvatte twee grote eilanden die met elkaar en het vasteland verbonden waren door zeven bruggen. Het probleem is om te beslissen of het mogelijk is om een pad te volgen dat elke brug precies één keer kruist en terugkeert naar het startpunt. Het is niet mogelijk: Er is geen euleriaans circuit. Deze oplossing wordt beschouwd als de eerste stelling van de grafentheorie, in het bijzonder van de vlakke grafentheorie.,

Euler ontdekte ook de formule V-E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} met betrekking tot het aantal hoekpunten, randen en vlakken van een convexe veelvlak, en dus van een vlakke grafiek. De constante in deze formule staat nu bekend als de Euler-karakteristiek voor de grafiek (of een ander wiskundig object), en is gerelateerd aan het geslacht van het object. De studie en veralgemening van deze formule, specifiek door Cauchy en L ‘ huiler, ligt aan de oorsprong van de topologie.,enkele van Eulers grootste successen waren het analytisch oplossen van reële problemen en het beschrijven van talrijke toepassingen van de Bernoulli-getallen, Fourier-reeksen, Euler-getallen, de constanten e en π, voortdurende breuken en integralen. Hij integreerde Leibniz ‘ differentiaalrekening met Newtons Fluxionenmethode en ontwikkelde hulpmiddelen die het gemakkelijker maakten om calculus toe te passen op fysieke problemen. Hij maakte grote stappen in het verbeteren van de numerieke benadering van integralen, het uitvinden van wat nu bekend staat als de Euler-benaderingen., De meest opvallende van deze benaderingen zijn de methode van Euler en de formule van Euler–Maclaurin. Hij vergemakkelijkt ook het gebruik van differentiaalvergelijkingen, met name door de Euler–Mascheroni-constante in te voeren:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ (n)). {\displaystyle \ gamma = \ lim _{n \ rightarrow \ infty } \ left (1 + {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+ \ cdots +{\frac {1}{n}} – \ ln (n) \ right). een van Eulers meer ongebruikelijke interesses was de toepassing van wiskundige ideeën in muziek., In 1739 schreef hij het Tentamen novae theoriae musicae, in de hoop uiteindelijk de muziektheorie op te nemen in de wiskunde. Dit deel van zijn werk kreeg echter geen brede aandacht en werd ooit beschreven als te wiskundig voor muzikanten en te muzikaal voor wiskundigen.in 1911, bijna 130 jaar na de dood van Euler, gebruikte Alfred J. Lotka het werk van Euler om de Euler–Lotka-vergelijking af te leiden voor het berekenen van populatiegroei voor leeftijdsgestructureerde populaties, een fundamentele methode die algemeen wordt gebruikt in populatiebiologie en ecologie.,

fysica en astronomie

Euler hielp bij de ontwikkeling van de Euler–Bernoulli-bundelvergelijking, die een hoeksteen van de techniek werd. Naast het succesvol toepassen van zijn analytische tools op problemen in de klassieke mechanica, paste Euler deze technieken toe op hemelse problemen. Zijn werk in de astronomie werd in de loop van zijn carrière bekroond met meerdere prijzen van de Academie van Parijs. Zijn prestaties omvatten het met grote nauwkeurigheid bepalen van de banen van kometen en andere hemellichamen, het begrijpen van de aard van kometen, en het berekenen van de parallax van de zon., Zijn berekeningen droegen bij aan de ontwikkeling van nauwkeurige lengtegraadtabellen.

Euler leverde belangrijke bijdragen in de optica. Hij was het niet eens met Newton ‘ s corpusculaire theorie van licht in de Opticks, die toen de heersende theorie was. Zijn artikelen over optica uit 1740 hielpen ervoor te zorgen dat de golftheorie van licht, voorgesteld door Christiaan Huygens, de dominante denkwijze zou worden, althans tot de ontwikkeling van de kwantumtheorie van licht.in 1757 publiceerde hij een belangrijke verzameling vergelijkingen voor onzichtbare stroom, die nu bekend staan als de Euler-vergelijkingen.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \gedeeltelijke t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \gedeeltelijke t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

waar

• ρ is de vloeibare massa dichtheid,
• u is de vloeistofsnelheid vector met componenten u, v en w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) is de totale energie per volume-eenheid, met e de interne energie per massa-eenheid voor de vloeistof,
• p de druk,
• ⊗ geeft het tensor product, en
• 0 wordt de nul-vector.,

Euler is goed bekend in structural engineering voor zijn formule geven van de kritische knik laden van een ideale strut, dat hangt alleen af van de lengte en de buigsterkte stijfheid:

F = π 2 E I ( K-L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

waar

• F = maximale of kritische kracht (verticale belasting op kolom),
• E = elasticiteitsmodulus,
• I = gebied traagheidsmoment,
• L = ongesteunde lengte van de kolom
• K) = kolom effectieve factor is, waarvan de waarde afhankelijk is van de voorwaarden van de end ondersteuning van de kolom, als volgt.,

voor beide uiteinden vastgezet (scharnierend, vrij om te draaien), K = 1,0. Voor beide uiteinden vast, K = 0,50. Voor het ene uiteinde vast en het andere uiteinde vast, K = 0.699 … voor het ene uiteinde vast en het andere uiteinde vrij om lateraal te bewegen, K = 2.0.

• K L is de effectieve lengte van de kolom.

Logica

Euler wordt gecrediteerd met het gebruik van gesloten krommen om syllogistische redenering te illustreren (1768). Deze diagrammen zijn bekend geworden als Euler diagrammen.,

een Euler-diagram is een diagram om verzamelingen en hun relaties weer te geven. Euler diagrammen bestaan uit eenvoudige gesloten krommen (meestal cirkels) in het vlak dat verzamelingen afbeeldt. Elke Euler-kromme verdeelt het vlak in twee gebieden of “zones”: het interieur, dat symbolisch de elementen van de verzameling voorstelt, en het exterieur, dat alle elementen vertegenwoordigt die geen deel uitmaken van de verzameling. De afmetingen of vormen van de krommen zijn niet belangrijk; de Betekenis van het diagram is in hoe ze elkaar overlappen., De ruimtelijke relaties tussen de gebieden die door elke curve worden begrensd (overlapping, insluiting of geen van beide) komen overeen met settheoretische relaties (snijpunt, subset en disjunctness). Krommen waarvan de binnenzones niet elkaar kruisen, vertegenwoordigen disjuncte verzamelingen. Twee krommen waarvan de binnenzones elkaar kruisen, vertegenwoordigen verzamelingen die gemeenschappelijke elementen hebben; de zone binnen beide krommen vertegenwoordigt de verzameling elementen die gemeenschappelijk zijn voor beide verzamelingen (het snijpunt van de Verzamelingen). Een kromme die volledig binnen de binnenzone van een ander is opgenomen vertegenwoordigt een deelverzameling ervan., Euler-diagrammen (en hun verfijning tot Venn-diagrammen) werden opgenomen als onderdeel van het onderwijs in de verzamelingenleer als onderdeel van de nieuwe wiskundige beweging in de jaren 1960. sindsdien zijn ze ook overgenomen door andere curriculumgebieden zoals lezen.

Muziek

zelfs bij muziek is de benadering van Euler voornamelijk wiskundig. Zijn geschriften over muziek zijn niet bijzonder talrijk (een paar honderd pagina ‘s, in zijn totale productie van ongeveer dertigduizend pagina’ s), maar ze weerspiegelen een vroege preoccupatie en een die hem niet zijn hele leven heeft verlaten.,

Euler bedacht een specifieke grafiek, het Speculum musicum, om het diatonico-chromatische genre te illustreren, en besprak paden in deze grafiek voor specifieke intervallen, herinnerend aan zijn interesse in de zeven bruggen van Königsberg (zie hierboven). Het apparaat trok hernieuwde belangstelling als de Tonnetz in de neo-Riemann theorie (zie ook Lattice (Muziek)).

Euler gebruikte verder het principe van de “exponent” om een afleiding van de gradus suavitatis (graad van suaviteit, van overeenstemming) van intervallen en akkoorden uit hun priemfactoren voor te stellen – men moet in gedachten houden dat hij alleen intonatie, d.w.z., 1 en alleen de priemgetallen 3 en 5. Er zijn formules voorgesteld om dit systeem uit te breiden tot een willekeurig aantal priemgetallen, bijvoorbeeld in de vorm

ds = Σ (kipi – ki) + 1

waarin pi priemgetallen zijn en ki hun exponenten.