Euler a lucrat în aproape toate domeniile matematicii, cum ar fi geometria, calculul infinitezimal, trigonometria, algebra și teoria numerelor, precum și fizica continuumului, teoria lunară și alte domenii ale fizicii. Este o figură seminală în istoria matematicii; dacă ar fi tipărită, lucrările sale, multe dintre ele de interes fundamental, ar ocupa între 60 și 80 de volume quarto. Numele lui Euler este asociat cu un număr mare de subiecte.,
Euler este singurul matematician de a avea doua numere numit după el: cel mai important numărul lui Euler în calcul, e, aproximativ egal cu 2.71828, și constantă Euler–Mascheroni γ (gamma) uneori menționată ca „lui Euler” constantă, aproximativ egală cu 0.57721. Nu se știe dacă γ este rațional sau irațional.
notația matematică
Euler a introdus și popularizat mai multe convenții notaționale prin numeroasele sale manuale de circulație., Mai ales, el a introdus noțiunea de funcție și a fost primul care scrie f(x) pentru a desemna funcția f aplicate la argumentul x. El a introdus, de asemenea, notație modernă pentru funcțiile trigonometrice, litera e pentru baza de logaritmul natural (acum, de asemenea, cunoscut sub numele de numărul lui Euler), litera grecească Σ pentru somații și litera i pentru a desemna unitatea imaginară. Folosirea literei grecești π pentru a desemna raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său a fost, de asemenea, popularizată de Euler, deși provine de la matematicianul Welsh William Jones.,dezvoltarea calculului infinitezimal a fost în fruntea cercetării matematice din secolul al XVIII—lea, iar Bernoullis—prietenii de familie ai lui Euler-au fost responsabili pentru o mare parte din progresul timpuriu în domeniu. Datorită influenței lor, studiul calculului a devenit principalul obiectiv al operei lui Euler. În timp ce unele dintre dovezile lui Euler nu sunt acceptate de standardele moderne de rigoare matematică (în special dependența sa de principiul generalității algebrei), ideile sale au condus la multe progrese mari.,Euler este bine cunoscut în analiză pentru utilizarea și dezvoltarea frecventă a seriilor de putere, expresia funcțiilor ca sume de infinit de mulți termeni, cum ar fi
E x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \pe n!} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\frac {1}{0!}} + {\frac {x}{1!}} + {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}} \ dreapta).}
Euler a dovedit direct extinderile seriei de putere pentru e și funcția tangentă inversă., (Dovada indirectă prin tehnica seriei de putere inversă a fost dată de Newton și Leibniz între 1670 și 1680. Utilizarea îndrăzneață a seriei de putere i-a permis să rezolve faimoasa problemă de la Basel în 1735 (el a oferit un argument mai elaborat în 1741):
∑ N = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}
O interpretare geometrică a lui Euler formula
Euler a introdus utilizarea funcției exponențiale și logaritmi în analitic dovezi. El a descoperit modalități de exprimare a diferitelor funcții logaritmice folosind serii de putere și a definit cu succes logaritmii pentru numere negative și complexe, extinzând astfel foarte mult domeniul de aplicare al aplicațiilor matematice ale logaritmilor. El a definit, de asemenea, funcția exponențială pentru numere complexe și a descoperit relația sa cu funcțiile trigonometrice., Pentru orice număr real φ (considerat a fi radiani), formula lui Euler afirmă că funcția exponențială complexă satisface
e i φ = cos φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}
Un caz special de formula de mai sus este cunoscut sub numele lui Euler de identitate,
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
numit „cel mai remarcabil în formula matematica” de Richard P. Feynman, pentru single utilizează noțiunile de adunare, înmulțire, ridicare la puterea, și egalitatea, și unic utilizări dintre cele mai importante constante 0, 1, e, i și π., În 1988, cititorii inteligentului matematic au votat-o „cea mai frumoasă formulă matematică vreodată”. În total, Euler a fost responsabil pentru trei dintre primele cinci formule din acest sondaj.
formula lui de Moivre este o consecință directă a formulei lui Euler.Euler a elaborat teoria funcțiilor transcendentale superioare prin introducerea funcției gamma și a introdus o nouă metodă de rezolvare a ecuațiilor quartice. El a găsit o modalitate de a calcula integralele cu limite complexe, prefigurând dezvoltarea analizei complexe moderne., El a inventat calculul variațiilor, inclusiv rezultatul său cel mai cunoscut, ecuația Euler–Lagrange.
Euler a pionierat utilizarea metodelor analitice pentru a rezolva problemele teoriei numerelor. În acest sens, el a unit două ramuri disparate ale matematicii și a introdus un nou domeniu de studiu, teoria analitică a numerelor. În breaking ground pentru acest nou domeniu, Euler a creat teoria seriilor hipergeometrice, seria q, funcțiile trigonometrice hiperbolice și teoria analitică a fracțiilor continue., De exemplu, el a dovedit infinitatea numerelor prime folosind divergența seriei armonice și a folosit metode analitice pentru a înțelege modul în care sunt distribuite numerele prime. Activitatea lui Euler în acest domeniu a dus la dezvoltarea teoremei numerelor prime.interesul lui Euler în teoria numerelor poate fi urmărit de influența lui Christian Goldbach, prietenul său din Academia din Sankt Petersburg. Multe dintre lucrările timpurii ale lui Euler privind teoria numerelor s-au bazat pe lucrările lui Pierre de Fermat. Euler a dezvoltat unele dintre ideile lui Fermat și a respins unele dintre presupunerile sale.,
Euler a legat natura distribuției prime cu ideile în analiză. El a dovedit că suma reciprocă a primelor diferă. În acest sens, el a descoperit legătura dintre funcția Riemann zeta și numerele prime; aceasta este cunoscută sub numele de formula produsului Euler pentru funcția Riemann zeta.
Euler a dovedit identitățile lui Newton, mica teoremă a lui Fermat, teorema lui Fermat privind sumele a două pătrate și a adus contribuții distincte la teorema lui Lagrange cu patru pătrate., El a inventat, de asemenea, funcția totient φ(n), numărul de numere întregi pozitive mai mici sau egale cu un număr întreg n care sunt prime între ele n. n Folosind proprietățile din această funcție, el a generalizat a a lui Fermat mica teorema a ceea ce este acum cunoscut sub numele lui Euler teorema. El a contribuit semnificativ la teoria numerelor perfecte, care a fascinat matematicienii de la Euclid. El a demonstrat că relația dintre numerele chiar perfecte și primele Mersenne dovedite anterior de Euclid a fost unu-la-unu, un rezultat altfel cunoscut sub numele de teorema Euclid–Euler., Euler a presupus, de asemenea, legea reciprocității patratice. Conceptul este privit ca o teoremă fundamentală din teoria numerelor, și ideile sale pavat calea pentru lucrarea lui Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler a demonstrat că 231 − 1 = 2,147,483,647 este un prim Mersenne. Este posibil să fi rămas cel mai mare prim cunoscut până în 1867.
Teoria grafurilor
Euler a descoperit, de asemenea, formula V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} referitoare la numărul de vârfuri, muchii și fețe ale unui poliedru convex și, prin urmare, a unui grafic planar. Constanta din această formulă este acum cunoscută sub numele de caracteristica Euler pentru grafic (sau alt obiect matematic) și este legată de genul obiectului. Studiul și generalizarea acestei formule, în special de către Cauchy și L ‘ Huilier, este la originea topologiei.,unele dintre cele mai mari succese ale lui Euler au fost în rezolvarea analitică a problemelor din lumea reală și în descrierea numeroaselor aplicații ale numerelor Bernoulli, seriilor Fourier, numerelor Euler, constantelor E și π, fracțiilor și integralelor continue. El a integrat calculul diferențial al lui Leibniz cu metoda fluxurilor lui Newton și a dezvoltat instrumente care au facilitat aplicarea calculului la problemele fizice. El a făcut pași mari în îmbunătățirea aproximării numerice a integralelor, inventând ceea ce sunt acum cunoscute sub numele de aproximări Euler., Cele mai notabile dintre aceste aproximări sunt metoda lui Euler și formula Euler–Maclaurin. El a facilitat, de asemenea, utilizarea de ecuații diferențiale, în special introducerea constantă Euler–Mascheroni:
γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\dreapta).}
unul dintre cele mai neobișnuite interese ale lui Euler a fost aplicarea ideilor matematice în muzică., În 1739 a scris Tentamen novae theoriae musicae, în speranța de a în cele din urmă încorporează teoria muzicală, ca parte a matematicii. Cu toate acestea, această parte a operei sale nu a primit o atenție largă și a fost descrisă odată ca fiind prea matematică pentru muzicieni și prea muzicală pentru matematicieni.în 1911, la aproape 130 de ani de la moartea lui Euler, Alfred J. Lotka a folosit lucrarea lui Euler pentru a obține ecuația Euler–Lotka pentru calcularea ratelor de creștere a populației pentru populațiile structurate pe vârstă, o metodă fundamentală care este frecvent utilizată în biologia și ecologia populației.,
fizică și astronomie
Euler a ajutat la dezvoltarea ecuației fasciculului Euler-Bernoulli, care a devenit o piatră de temelie a ingineriei. Pe lângă aplicarea cu succes a instrumentelor sale analitice la problemele din mecanica clasică, Euler a aplicat aceste tehnici problemelor celeste. Activitatea sa în astronomie a fost recunoscută de mai multe premii ale Academiei de la Paris de-a lungul carierei sale. Realizările sale includ determinarea cu mare precizie a orbitelor cometelor și a altor corpuri cerești, înțelegerea naturii cometelor și calcularea paralaxei soarelui., Calculele sale au contribuit la dezvoltarea unor tabele exacte de longitudine.
Euler a adus contribuții importante în optică. El nu a fost de acord cu teoria corpusculară a luminii a lui Newton în Opticks, care a fost apoi teoria predominantă. Lui 1740 actele pe optica ajutat să se asigure că teoria val de lumină propus de Christiaan Huygens a devenit modul dominant de gândire, cel puțin până la dezvoltarea teoriei cuantice a luminii.în 1757 a publicat un set important de ecuații pentru fluxul inviscid, care sunt acum cunoscute sub numele de ecuațiile Euler.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \terminat \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \terminat \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aliniat}}}
unde
- ρ este lichidul cu densitate de masă,
- u este viteza fluidului vector cu componente u, v, w,
- E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) este cantitatea totală de energie pe unitatea de volum, cu e fiind cea internă de energie pe unitatea de masă de fluid,
- p este presiunea,
- ⊗ denotă tensor produs, și
- 0 fiind zero vector.,
Euler este bine cunoscut în inginerie structurală pentru formula lui da critică de flambaj se încarce de un ideal de strut, care depinde numai de lungimea și rigiditatea la încovoiere:
F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}IE}{(KL)^{2}}}}
în cazul în care
- F = maxim sau critică forța (sarcina verticală pe coloana),
- E = modulul de elasticitate,
- I = zona de moment de inerție,
- L = neacceptat lungime de coloană,
- K = coloana lungimea efectivă factor, a cărui valoare depinde de condițiile de sfârșitul de sprijin a coloanei, după cum urmează.,
pentru ambele capete fixate (articulate, libere să se rotească), K = 1.0. Pentru ambele capete fixe, K = 0,50. Pentru un capăt fix și celălalt capăt fixat, K = 0.699 … pentru un capăt fix și celălalt capăt liber să se miște lateral, K = 2.0.
- K L este lungimea efectivă a coloanei.
logică
Euler este creditat cu utilizarea curbelor închise pentru a ilustra raționamentul silogistic (1768). Aceste diagrame au devenit cunoscute sub numele de diagrame Euler.,
lui Euler diagrama
O diagramă Euler este o schematică mijloc de a reprezenta seturi și relațiile lor. Diagramele Euler constau din curbe simple închise (de obicei cercuri) în planul care prezintă seturi. Fiecare curbă Euler împarte planul în două regiuni sau „zone”: interiorul, care reprezintă simbolic elementele setului, și exteriorul, care reprezintă toate elementele care nu sunt membre ale setului. Dimensiunile sau formele curbelor nu sunt importante; semnificația diagramei este în modul în care se suprapun., Relațiile spațiale dintre regiunile delimitate de fiecare curbă (suprapunere, izolare sau niciuna) corespund relațiilor set-teoretice (intersecție, subset și disjuncție). Curbele ale căror zone interioare nu se intersectează reprezintă seturi disjuncte. Două curbe ale căror zone interioare se intersectează reprezintă seturi care au elemente comune; zona din interiorul ambelor curbe reprezintă setul de elemente comune ambelor seturi (intersecția seturilor). O curbă care este conținută complet în zona interioară a altui reprezintă un subset al acesteia., Diagramele Euler (și rafinamentul lor la diagramele Venn) au fost încorporate ca parte a instruirii în teoria seturilor ca parte a noii mișcări Matematice din anii 1960. de atunci, ele au fost adoptate și de alte domenii curriculare, cum ar fi lectura.chiar și atunci când se ocupă de muzică, abordarea lui Euler este în principal matematică. Scrierile sale despre muzică nu sunt deosebit de numeroase (câteva sute de pagini, în producția sa totală de aproximativ treizeci de mii de pagini), dar reflectă o preocupare timpurie și una care nu l-a părăsit de-a lungul vieții.,
Euler a elaborat un grafic specific, Speculul musicum, pentru a ilustra diatonico-cromatice gen, și a discutat căi în acest grafic, pentru anumite intervale de timp, reamintind interesul său în Șapte Poduri din Königsberg (vezi mai sus). Dispozitivul a atras un interes reînnoit ca Tonnetz în teoria neo-Riemanniană (vezi și Lattice (Muzică)).
Euler utilizate în continuare principiul de „exponent” de a propune o derivare din gradus suavitatis (gradul de suavitate, de agreabilitate) de intervale și acorduri de prim-lor factori – trebuie să păstrați în minte că el a considerat doar intonația, adică, 1 și numerele prime 3 și 5 numai. Au fost propuse formule care extind acest sistem la orice număr de numere prime, de exemplu sub forma
ds = Σ (kipi – ki) + 1
unde pi sunt numere prime și Ki exponenții lor.