Leonhard Euler (Svenska)

Euler arbetade i nästan alla områden av matematik, såsom geometri, infinitesimal kalkyl, trigonometri, algebra, och talteori, samt kontinuum fysik, lunar teori och andra områden av fysik. Han är en seminalfigur i matematikens historia; om han skrivs ut skulle hans verk, av vilka många är av grundläggande intresse, uppta mellan 60 och 80 kvartvolymer. Eulers namn är förknippat med ett stort antal ämnen.,

Euler är den enda matematikern som har två nummer uppkallade efter honom: det viktiga Eulers nummer i kalkyl, e, ungefär lika med 2.71828, och Euler–Mascheroni konstant γ (gamma) kallas ibland bara ”Eulers konstant”, ungefär lika med 0.57721. Det är inte känt om γ är rationellt eller irrationellt.

matematisk notation

Euler introducerade och populariserade flera notationskonventioner genom hans många och spridda läroböcker., Framför allt introducerade han begreppet funktion och var den första som skrev f (x) för att beteckna funktionen f applicerad på argumentet x. han introducerade också den moderna notationen för trigonometriska funktioner, bokstaven e för basen av den naturliga logaritmen (nu även känd som Eulers nummer), den grekiska bokstaven Σ För summeringar och bokstaven i för att beteckna den imaginära enheten. Användningen av den grekiska bokstaven π för att beteckna förhållandet mellan en cirkel Omkrets och dess diameter var också populariserad av Euler, även om den härstammar från den walesiska matematikern William Jones.,

analys

utvecklingen av infinitesimal kalkyl var i spetsen för 1700-tals matematisk forskning, och Bernoullis—familjen vänner av Euler—var ansvariga för mycket av de tidiga framstegen på området. Tack vare deras inflytande blev studier av kalkyl huvudfokus i Eulers arbete. Medan några av Eulers bevis inte är acceptabla enligt moderna standarder för matematisk noggrannhet (särskilt hans beroende av principen om algebras generalitet) ledde hans idéer till många stora framsteg.,Euler är välkänd i analys för sin frekventa användning och utveckling av power series, uttrycket av funktioner som summor oändligt många termer, såsom

e x = n = 0 x n ! = lim n → TRIP (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n = 0}^{\infty }{x^{n} \ Över n!} = \ lim _{n \ till \ infty } \ vänster ({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\rättighet).}

Euler direkt visat potensserieutveckling för e och inverse tangent funktion., (Indirekt bevis via invers makt serie teknik gavs av Newton och Leibniz mellan 1670 och 1680.) Hans djärva användning av power series gjorde det möjligt för honom att lösa det berömda Baselproblemet 1735 (han gav ett mer utarbetat argument 1741):

n = 1 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \ sum _{n = 1}^{\infty }{1 \ Över n^{2}} = \lim _{n \ till \ infty } \ left ({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots + {\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler introducerade användningen av exponentiell funktion och logaritmer i analytiska bevis. Han upptäckte sätt att uttrycka olika logaritmiska funktioner med hjälp av power series, och han definierade framgångsrikt logaritmer för negativa och komplexa tal, vilket väsentligt utökade omfattningen av matematiska tillämpningar av logaritmer. Han definierade också exponentiell funktion för komplexa tal och upptäckte dess relation till trigonometriska funktioner., För varje verkligt tal φ (för att vara radianer), Euler formel säger att den komplexa exponentiell funktion uppfyller

E I φ = cos φ + i sin φ . {\displaystyle E^{i \ varphi } = \ cos \ varphi +i \ sin \ varphi .}

ett specialfall av ovanstående formel kallas Eulers identitet,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle E^{i \ pi } + 1 = 0}

kallas ”den mest anmärkningsvärda formeln i matematik” av Richard P. Feynman, för dess enda användning av begreppen addition, multiplikation, exponentiation och jämlikhet, och de enda användningarna av de viktiga konstanterna 0, 1, e, i och π., 1988, läsare av den matematiska Intelligencer röstade det ”Den vackraste matematiska formeln någonsin”. Totalt var Euler ansvarig för tre av de fem bästa formlerna i den undersökningen.

de Moivres formel är en direkt följd av Eulers formel.

Euler utarbetade teorin om högre transcendentala funktioner genom att införa gammafunktionen och introducerade en ny metod för att lösa kvartiska ekvationer. Han hittade ett sätt att beräkna integraler med komplexa gränser, förskuggning av utvecklingen av modern komplex analys., Han uppfann beräkningen av variationer inklusive dess mest kända resultat, Euler-Lagrange ekvationen.

Euler banade väg för användningen av analytiska metoder för att lösa nummerteoriproblem. På så sätt förenade han två olika grenar av matematik och introducerade ett nytt studieområde, analytisk talteori. I breaking ground för detta nya fält skapade Euler teorin om hypergeometrisk serie, q-serie, hyperboliska trigonometriska funktioner och den analytiska teorin om fortsatta fraktioner., Till exempel visade han oändligheten av primtal med hjälp av divergensen i harmonic-serien, och han använde analytiska metoder för att få viss förståelse för hur primtal distribueras. Eulers arbete på detta område ledde till utvecklingen av huvudnumret teorem.

Nummerteori

Eulers intresse för nummerteori kan spåras till påverkan av Christian Goldbach, hans vän i St.Petersburg Academy. Många av Eulers tidiga arbete med nummerteori baserades på Pierre de Fermats verk. Euler utvecklade några av Fermats idéer och motbevisade några av hans gissningar.,

Euler kopplade den typ av prime distribution med idéer i analys. Han visade att summan av primernas fram-och återgående avviker. På så sätt upptäckte han sambandet mellan Riemann zeta-funktionen och primtal; detta är känt som Euler-produktformeln för Riemann zeta-funktionen.

Euler visade Newtons identiteter, Fermat ’s little theorem, Fermat’ s theorem på summor av två rutor, och han gjorde tydliga bidrag till Lagranges fyra kvadratiska teorem., Han uppfann också totientfunktionen φ (n), antalet positiva heltal mindre än eller lika med heltalet n som är coprime till n. med hjälp av egenskaperna hos denna funktion generaliserade han Fermats lilla teorem till vad som nu kallas Eulers teorem. Han bidrog väsentligt till teorin om perfekta tal, som hade fascinerat matematiker sedan Euclid. Han visade att förhållandet mellan ännu perfekta siffror och Mersenne primes tidigare visat av Euclid var en-till-en, ett resultat som annars kallas Euclid–Euler teorem., Euler gissade också lagen om kvadratisk ömsesidighet. Konceptet betraktas som en grundläggande teorem för talteori, och hans idéer banade väg för Carl Friedrichs arbete Gauss.By 1772 Euler hade visat att 231 – 1 = 2,147,483,647 är en Mersenne prime. Det kan ha varit den största kända prime fram till 1867.

grafteori

1735 presenterade Euler en lösning på problemet som kallas Königsbergs sju broar. Staden Königsberg, Preussen sattes på Pregelfloden, och inkluderade två stora öar som var förbundna med varandra och fastlandet med sju broar. Problemet är att bestämma om det är möjligt att följa en väg som korsar varje bro exakt en gång och återgår till utgångspunkten. Det är inte möjligt: Det finns ingen Eulerisk krets. Denna lösning anses vara den första teorin för grafteori, speciellt av planar grafteori.,

Euler upptäckte också formeln V-E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} avseende antalet hörn, kanter och ansikten hos en konvex polyhedron, och därmed av ett plangraf. Konstanten i denna formel är nu känd som Euler-egenskapen för grafen (eller annat matematiskt objekt) och är relaterat till objektets släkt. Studien och generaliseringen av denna formel, speciellt av Cauchy och L ’ Huilier, är vid topologins ursprung.,

tillämpad matematik

några av Eulers största framgångar var att lösa verkliga problem analytiskt och beskriva många tillämpningar av Bernoulli-numren, Fourier-serien, Euler-nummer, konstanterna e och π, fortsatta fraktioner och integraler. Han integrerade Leibniz differentialkalkyl med Newtons metod för Fluxioner och utvecklade verktyg som gjorde det lättare att tillämpa kalkyl på fysiska problem. Han gjorde stora framsteg i att förbättra den numeriska approximationen av integraler, uppfinna vad som nu kallas Euler approximationer., De mest anmärkningsvärda av dessa approximationer är Euler metod och Euler-Maclaurin formel. Han underlättade också användningen av differentialekvationer, särskilt införandet av Euler-Mascheroni-konstanten:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ( n ) ) . {\displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } \ left (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}} + \cdots + {\frac {1}{n}} – \ln(n) \ right).}

en av Eulers mer ovanliga intressen var tillämpningen av matematiska idéer i musik., År 1739 skrev han Tentamen Novae theoriae musicae, i hopp om att så småningom införliva musikalisk teori som en del av matematiken. Denna del av hans arbete fick dock inte stor uppmärksamhet och beskrevs en gång som för matematisk för musiker och för musikalisk för matematiker.

1911, nästan 130 år efter Eulers död, använde Alfred J. Lotka Eulers arbete för att härleda Euler–Lotka-ekvationen för att beräkna befolkningstillväxten för åldersstrukturerade populationer, en grundläggande metod som vanligtvis används i befolkningsbiologi och ekologi.,

fysik och astronomi

Euler hjälpte till att utveckla Euler–Bernoulli beam ekvation, som blev en hörnsten i teknik. Förutom att framgångsrikt tillämpa sina analytiska verktyg på problem i klassisk mekanik, tillämpade Euler dessa tekniker på Himmelska problem. Hans arbete i astronomi erkändes av flera Paris Academy priser under sin karriär. Hans prestationer inkluderar att med stor noggrannhet bestämma komets och andra himmelska kroppars banor, förstå komets natur och beräkna solens parallax., Hans beräkningar bidrog till utvecklingen av exakta longitudtabeller.

Euler gjorde viktiga bidrag inom optik. Han höll inte med Newtons korpuskulära teori om ljus i optikerna, vilket då var den rådande teorin. Hans 1740-tal om optik bidrog till att den vågteori om ljus som Christiaan Huygens föreslog skulle bli det dominerande tankesättet, åtminstone fram till utvecklingen av kvantteorin om ljus.

år 1757 publicerade han en viktig uppsättning ekvationer för inviscid flow, som nu kallas Euler ekvationer.,artial (\Rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\Rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial e \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}

där

• ρ är vätskemassdensiteten,
• u är vätskehastighetsvektorn, med komponenter u, v och w,
• e = ρ e + ½ ρ (U2 + v2 + W2) är den totala energin per enhetsvolym, med E som den inre energin per enhetsmassa för vätskan,
• p är trycket,
• betecknar Tensorprodukten och
• 0 är nollvektorn.,

Euler är välkänt inom konstruktionsteknik för sin formel som ger den kritiska bucklingbelastningen av en idealisk strut, som endast beror på dess längd och böjstyvhet:

f = π 2 e i ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}ei}{(KL)^{2}}}}}

där

• f = maximal eller kritisk kraft (vertikal belastning på kolumn),
• e = elasticitetsmodul,
• i = tröghetsmoment,
• l = kolumnens längd som inte stöds,
• k = kolumnens effektiva längdfaktor, vars värde beror på villkoren för kolumnens slutstöd, enligt följande.,

för båda ändarna fästa (gångjärn, fri att rotera), K = 1,0. För båda ändarna fast, K = 0,50. För den ena änden fast och den andra änden fast, k = 0,699… för den ena änden fast och den andra änden fri att röra sig i sidled, K = 2,0.

• k L är kolumnens effektiva längd.

logik

Euler krediteras med att använda slutna kurvor för att illustrera syllogistiska resonemang (1768). Dessa diagram har blivit kända som Euler diagram.,

ett Eulerdiagram är ett diagrammatiskt sätt att representera uppsättningar och deras relationer. Euler diagram består av enkla slutna kurvor (vanligtvis cirklar) i planet som skildrar uppsättningar. Varje Euler-kurva delar planet i två regioner eller” zoner”: inredningen, som symboliskt representerar elementen i uppsättningen och utsidan, som representerar alla element som inte är medlemmar i uppsättningen. Kurvornas storlekar eller former är inte viktiga; diagrammets betydelse är hur de överlappar varandra., De rumsliga relationerna mellan de regioner som avgränsas av varje kurva (överlappning, inneslutning eller varken) motsvarar uppsättningsteoretiska relationer (korsning, delmängd och avskildhet). Kurvor vars inre zoner inte skär representerar gemensamma uppsättningar. Två kurvor vars inre zoner skär representerar uppsättningar som har gemensamma element; zonen inuti båda kurvorna representerar uppsättningen element som är gemensamma för båda uppsättningarna (skärningspunkten mellan uppsättningarna). En kurva som finns helt inom den inre zonen hos en annan representerar en delmängd av den., Euler-diagram (och deras förfining till Venn-diagram) införlivades som en del av instruktionen i set theory som en del av den nya matematiska rörelsen på 1960-talet. sedan dess har de också antagits av andra läroplansfält som läsning.

Musik

även när det handlar om musik är Eulers tillvägagångssätt huvudsakligen matematiskt. Hans skrifter om musik är inte särskilt många (några hundra sidor, i sin totala produktion av cirka trettio tusen sidor), men de speglar en tidig upptagenhet och en som inte lämnade honom under hela sitt liv.,

Euler utarbetade ett specifikt diagram, Speculum musicum, för att illustrera diatonico-kromatiska genren, och diskuterade vägar i denna graf för specifika intervaller, som påminner om hans intresse för de sju broarna i Königsberg (se ovan). Enheten drog förnyat intresse som Tonnetz i neo-Riemannian teori (se även Gitter (musik)).

Euler använde vidare principen om ”exponenten” för att föreslå en avledning av gradus suavitatis (grad av suavity, av agreeableness) av intervaller och ackord från deras främsta faktorer – man måste komma ihåg att han ansåg bara intonation, dvs, 1 och primtal 3 och 5. Formler har föreslagits som utvidgar detta system till valfritt antal primtal, t. ex. i form

ds = Σ (kipi – ki) + 1

där pi är primtal och ki deras exponenter.