Leonhard Euler (Español)

Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, como la geometría, el cálculo infinitesimal, la trigonometría, el álgebra y la teoría de números, así como la física del continuo, la teoría lunar y otras áreas de la física. Es una figura seminal en la historia de las matemáticas; si se imprimen, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto. El nombre de Euler está asociado con un gran número de temas.,

Euler es el único matemático que tiene dos números nombrados en su honor: el número importante de Euler en cálculo, e, aproximadamente igual a 2,71828, y la constante de Euler–Mascheroni γ (gamma) a veces referida como «constante de Euler», aproximadamente igual a 0,57721. No se sabe si γ es racional o irracional.

notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones notacionales a través de sus numerosos y ampliamente circulados libros de texto., Más notablemente, introdujo el concepto de función y fue el PRIMERO en escribir f (x) para denotar la función f aplicada al argumento x. también introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas, la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocida como el número de Euler), la letra griega Σ para las sumaciones y la letra i para denotar la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones.,

análisis

El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoullis-amigos de la familia de Euler—fueron responsables de gran parte del progreso temprano en el campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el principal foco de trabajo de Euler. Mientras que algunas de las pruebas de Euler no son aceptables para los estándares modernos de rigor matemático (en particular, su confianza en el principio de la generalidad del álgebra), sus ideas llevaron a muchos grandes avances.,Euler es bien conocido en análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de potencias, la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, tales como

e x = ∑ n =0 ∞ x n n! = lim n → ∞ (1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + x + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!} = \ lim _{n \ to \ infty } \ left ({\frac {1}{0!}} +{\frac {x} {1!}} +{\frac {x^{2}}{2!}} + \ cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\derecho).}

Euler probó directamente las expansiones de la serie de potencias para e y la función tangente inversa., (La prueba indirecta a través de la técnica de series de potencias inversas fue dada por Newton y Leibniz entre 1670 y 1680.) Su atrevido uso de la serie de poder le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler introdujo el uso de la función exponencial y logaritmos en la analítica de las pruebas. Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, ampliando así en gran medida el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. También definió la función exponencial para los números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas., Para cualquier número real φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface

E I φ = cos ⁡ φ + I sin ⁡ φ . {\displaystyle e^{I \ varphi } = \cos \varphi +i\sin \varphi .}

Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler,

e I π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

llamada «la fórmula más notable en matemáticas» por Richard P. Feynman, por sus usos individuales de las nociones de suma, multiplicación, exponenciación e Igualdad, y los usos individuales de las constantes importantes 0, 1, e, i y π., En 1988, los lectores de The Mathematical Intelligencer la votaron «la fórmula matemática más hermosa de la historia». En total, Euler fue responsable de tres de las cinco fórmulas principales en esa encuesta.

la fórmula de De Moivre es una consecuencia directa de la fórmula de Euler.

Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales superiores mediante la introducción de la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas. Encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, prefigurando el desarrollo del análisis complejo moderno., Inventó el cálculo de variaciones incluyendo su resultado más conocido, la ecuación de Euler–Lagrange.

Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. En la ruptura de la tierra para este nuevo campo, Euler creó la teoría de la serie hipergeométrica, serie q, funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas., Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de las series armónicas, y utilizó métodos analíticos para obtener cierta comprensión de la forma en que se distribuyen los números primos. El trabajo de Euler en esta área llevó al desarrollo del teorema del número primo.

teoría de números

El interés de Euler en la teoría de números se remonta a la influencia de Christian Goldbach, su amigo en la Academia de San Petersburgo. Muchos de los primeros trabajos de Euler sobre la teoría de números se basa en las obras de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas.,

Euler vinculó la naturaleza de la distribución primaria con las ideas en el análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los primos diverge. Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler probó las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados, e hizo distintas contribuciones al teorema de cuatro cuadrados de Lagrange., También inventó la función totient φ (n), El número de enteros positivos menores o iguales al entero n que son coprimos a n. usando propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como Teorema de Euler. Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos, que había fascinado a los matemáticos desde Euclides. Demostró que la relación que se muestra entre los números perfectos pares y primos de Mersenne demostrado anteriormente por Euclides era uno-a-uno, un resultado también conocido como el teorema de Euclides–Euler., Euler también conjeturó la Ley de reciprocidad cuadrática. El concepto es considerado como un teorema fundamental de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler había demostrado que 231-1 = 2.147.483.647 es un primo de Mersenne. Puede haber seguido siendo el primo más grande conocido hasta 1867.

teoría de grafos

en 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los siete puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, Prusia, estaba situada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema es decidir si es posible seguir un camino que cruza cada puente exactamente una vez y vuelve al punto de partida. No es posible: no hay circuito euleriano. Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos, específicamente de la teoría de grafos planos.,

Euler también descubrió la fórmula V – E + F=2 {\displaystyle V-E+F = 2} relacionando el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, y por lo tanto de un grafo plano. La constante en esta fórmula ahora se conoce como la característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático), y está relacionada con el género del objeto. El estudio y generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy y L’Huilier, está en el origen de la topología.,

Matemáticas Aplicadas

algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la solución de problemas del mundo real analíticamente, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, series de Fourier, números de Euler, las constantes e y π, fracciones continuas e integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de Fluxiones de Newton, y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler., Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler–Maclaurin. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ (n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\derecho).

uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música., En 1739 escribió el Tentamen novae theoriae musicae, con la esperanza de incorporar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió gran atención y una vez fue descrito como demasiado matemático para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.

en 1911, casi 130 años después de la muerte de Euler, Alfred J. Lotka utilizó el trabajo de Euler para derivar la ecuación de Euler–Lotka para calcular las tasas de crecimiento de la población para las poblaciones estructuradas por edad, un método fundamental que se utiliza comúnmente en la biología de la población y la ecología.,

física y astronomía

Euler ayudó a desarrollar la ecuación del haz de Euler–Bernoulli, que se convirtió en una piedra angular de la ingeniería. Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de la mecánica clásica, Euler aplicó estas técnicas a los problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido por múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular el paralaje del Sol., Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas.

Euler hizo importantes contribuciones en óptica. No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de Newton de la luz en los Opticks, que era entonces la teoría predominante. Sus trabajos de la década de 1740 sobre óptica ayudaron a asegurar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convertiría en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.

en 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo invisible, que ahora se conocen como las ecuaciones de Euler.,artial (\Rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\Nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\Rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial e \over \partial t}+\Nabla \cdot (\mathbf {u} (e+p))=0,\end{aligned}}}

donde

• ρ es la densidad de masa del fluido,
• u es el vector de velocidad del fluido, con componentes U, V Y W,
• E = ρ e + ½ ρ (U2 + v2 + W2) es la energía total por unidad de volumen, con e siendo la energía interna por unidad de masa para el fluido,
• P es la presión,
• den/li>
• 0 siendo el vector cero.,

Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que da la carga crítica de pandeo de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a flexión:

F = π 2 E i ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

donde

• F = Fuerza máxima o crítica (carga vertical en columna),
• E = módulo de elasticidad,
• I = momento de inercia del área,
• L = longitud no soportada de la columna,
• k = factor de longitud efectiva de la columna, cuyo valor depende de las condiciones de soporte final de la columna, de la siguiente manera.,

Para ambos extremos anclados (con bisagras, libres para girar), K = 1.0. Para ambos extremos fijos, K = 0.50. Para un extremo fijo y el otro fijo, K = 0.699 For para un extremo fijo y el otro extremo libre para moverse lateralmente, K = 2.0.

• K L es la longitud efectiva de la columna.

Logic

a Euler se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler.,

Un diagrama de Euler es un diagrama medio de representación de los grupos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos. Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o «zonas»: el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; el significado del diagrama está en cómo se superponen., Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones set-teóricas (intersección, subconjunto y disociación). Las curvas cuyas zonas interiores no se cruzan representan conjuntos disjuntos. Dos curvas cuyas zonas interiores se cruzan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de Otra representa un subconjunto de ella., Los diagramas de Euler (y su refinamiento a los diagramas de Venn) se incorporaron como parte de la instrucción en teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960.

música

incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático. Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos pocos cientos de páginas, en su producción total de unas treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana y que no le abandonó a lo largo de su vida.,

Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum, para ilustrar el género diatónico-cromático, y discutió los caminos en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los siete puentes de Königsberg (véase más arriba). El dispositivo atrajo un renovado interés como Tonetz en la teoría neo-riemanniana (Véase también celosía (música)).

Euler utilizó además el principio del «exponente» para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de amabilidad) de los intervalos y acordes de sus factores primos – uno debe tener en cuenta que él consideraba la entonación justa, i. e., 1 y los números primos 3 y 5 solamente. Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma

ds = Σ (Kipi-ki) + 1

donde pi son números primos y ki sus exponentes.