Leonhard Euler (Deutsch)

Euler arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik, wie Geometrie, Infinitesimalrechnung, Trigonometrie, Algebra und Zahlentheorie, sowie Kontinuumsphysik, Mondtheorie und anderen Bereichen der Physik. Er ist eine wegweisende Figur in der Geschichte der Mathematik; Wenn gedruckt, würden seine Werke, von denen viele von grundlegendem Interesse sind, zwischen 60 und 80 Quartobände einnehmen. Eulers name ist mit einer Vielzahl von Themen.,

Euler ist der einzige Mathematiker, der zwei Zahlen nach ihm benannt hat: die wichtige Euler–Zahl in der Kalkulation, e, ungefähr gleich 2.71828, und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (gamma), die manchmal nur als „Euler-Konstante“ bezeichnet wird, ungefähr gleich 0.57721. Es ist nicht bekannt, ob es rational oder irrational ist.

Mathematische Notation

Euler führte mehrere Notationskonventionen durch seine zahlreichen und weit verbreiteten Lehrbücher ein und popularisierte sie., Er führte auch die moderne Notation für die trigonometrischen Funktionen ein, den Buchstaben e für die Basis des natürlichen Logarithmus (jetzt auch als Eulersche Zahl bekannt), den griechischen Buchstaben Σ für Summationen und den Buchstaben i für die imaginäre Einheit. Die Verwendung des griechischen Buchstabens π, um das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser zu bezeichnen, wurde auch von Euler populär gemacht, obwohl es mit dem walisischen Mathematiker William Jones entstand.,

Analyse

Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung stand an der Spitze der mathematischen Forschung des 18. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Kalkül zum Schwerpunkt von Eulers Arbeit. Während einige von Eulers Beweisen nach modernen Maßstäben der mathematischen Strenge nicht akzeptabel sind (insbesondere sein Vertrauen auf das Prinzip der Allgemeinheit der Algebra), führten seine Ideen zu vielen großen Fortschritten.,Euler ist in der Analyse bekannt für seine häufige Verwendung und Entwicklung von Leistungsreihen, den Ausdruck von Funktionen als Summen unendlich vieler Begriffe, wie

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\neq I +{\frac {x^{n}}{n!}}\Recht).}

Euler bewies direkt die Power Series Erweiterungen für e und die inverse Tangens Funktion., (Indirekter Beweis über die inverse Power Series Technik wurde von Newton und Leibniz zwischen 1670 und 1680 gegeben.) Seine gewagte Verwendung von Machtreihen ermöglichte es ihm, das berühmte Basler Problem 1735 zu lösen (er lieferte 1741 ein ausführlicheres Argument):

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\neq I +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.,}

Euler führte die Verwendung der Exponentialfunktion und der Logarithmen in analytischen Beweisen ein. Er entdeckte Möglichkeiten, verschiedene logarithmische Funktionen mithilfe von Potenzreihen auszudrücken, und definierte erfolgreich Logarithmen für negative und komplexe Zahlen, wodurch der Umfang mathematischer Anwendungen von Logarithmen erheblich erweitert wurde. Er definierte auch die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen und entdeckte ihre Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen., Für jede reelle Zahl φ (als Bogenmaß genommen) besagt Eulers Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion

e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ erfüllt . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}

Ein Sonderfall der obigen Formel ist bekannt als Euler ’s identity,

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

genannt“ the most remarkable formula in mathematics “ von Richard P. Feynman für seine einzelnen Verwendungen der Begriffe Addition, Multiplikation, Exponentiation und Gleichheit sowie die einzelnen Verwendungen der wichtigen Konstanten 0, 1, e, i und π., 1988 wählten die Leser des mathematischen Intelligenzlers es zur „schönsten mathematischen Formel aller Zeiten“. Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln in dieser Umfrage verantwortlich.

De Moivres Formel ist eine direkte Folge von Eulers Formel.

Euler erarbeitete die Theorie höherer transzendentaler Funktionen durch Einführung der Gamma-Funktion und führte eine neue Methode zum Lösen von quartischen Gleichungen ein. Er fand einen Weg, Integrale mit komplexen Grenzen zu berechnen, was die Entwicklung moderner komplexer Analysen vorwegnahm., Er erfand die Variationsrechnung einschließlich seines bekanntesten Ergebnisses, der Euler-Lagrange-Gleichung.

Euler war Pionier bei der Verwendung analytischer Methoden zur Lösung zahlentheoretischer Probleme. Dabei vereinte er zwei unterschiedliche Zweige der Mathematik und führte ein neues Studiengebiet ein, die analytische Zahlentheorie. Als Euler den Grundstein für dieses neue Feld legte, schuf er die Theorie der hypergeometrischen Reihen, der q-Reihen, der hyperbolischen trigonometrischen Funktionen und der analytischen Theorie der fortgesetzten Brüche., Zum Beispiel bewies er die Unendlichkeit der Primzahlen anhand der Divergenz der harmonischen Reihen und verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung von Primzahlen zu erlangen. Eulers Arbeit in diesem Bereich führte zur Entwicklung des Primzahlsatzes.

Zahlentheorie

Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, seinem Freund an der St. Petersburger Akademie, zurückführen. Viele frühe Arbeiten von Euler zur Zahlentheorie basierten auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige Ideen von Fermat und widerlegte einige seiner Vermutungen.,

Euler verband die Natur der Primverteilung mit Ideen in der Analyse. Er bewies, dass die Summe der Reziproken der Primzahlen divergiert. Dabei entdeckte er den Zusammenhang zwischen der Riemann-Zeta-Funktion und den Primzahlen; dies wird als Euler-Produktformel für die Riemann-Zeta-Funktion bezeichnet.

Euler bewies Newtons Identitäten, Fermats kleines Theorem, Fermats Theorem über Summen von zwei Quadraten, und er leistete deutliche Beiträge zu Lagranges Vier-Quadrat-Theorem., Er erfand auch die Totientenfunktion φ(n), die Anzahl positiver Ganzzahlen, die kleiner oder gleich der ganzen Zahl n sind, die coprime zu n. Mit Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleines Theorem auf das, was heute als Euler-Theorem bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der perfekten Zahlen bei, die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatte. Er bewies, dass die Beziehung zwischen selbst perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen, die Euklid zuvor bewiesen hatte, eins zu eins war, ein Ergebnis, das auch als Euklid-Euler–Theorem bekannt ist., Euler vermutete auch das Gesetz der quadratischen Reziprozität. Das Konzept gilt als grundlegender Satz der Zahlentheorie, und seine Ideen ebneten den Weg für die Arbeit von Carl Friedrich Gauss.By 1772 Euler hatte bewiesen, dass 231-1 = 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Es kann die größte bekannte Primzahl bis 1867 geblieben sein.

Graphentheorie

1735 stellte Euler eine Lösung für das Problem der Sieben Brücken von Königsberg vor. Die Stadt Königsberg, Preußen, befand sich am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einem Pfad zu folgen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Es ist nicht möglich: Es gibt keine eulerschen Schaltung. Diese Lösung gilt als der erste Satz der Graphentheorie, speziell der planaren Graphentheorie.,

Euler entdeckte auch die Formel V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} in Bezug auf die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders, und damit der planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird jetzt als Euler-Merkmal für den Graphen (oder ein anderes mathematisches Objekt) bezeichnet und bezieht sich auf die Gattung des Objekts. Das Studium und die Verallgemeinerung dieser Formel, speziell von Cauchy und L ‚ Huilier, ist der Ursprung der Topologie.,

Angewandte Mathematik

Einige der größten Erfolge von Euler waren die analytische Lösung realer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der Bernoulli-Zahlen, Fourier-Reihen, Euler-Zahlen, der Konstanten e und π, fortgesetzter Brüche und Integrale. Er integrierte Leibniz ‚ Differentialrechnung mit Newtons Fluxionsmethode und entwickelte Werkzeuge, die es einfacher machten, Kalkül auf physikalische Probleme anzuwenden. Er machte große Fortschritte bei der Verbesserung der numerischen Approximation von Integralen und erfand die heutigen Euler-Approximationen., Die bemerkenswertesten dieser Approximationen sind Eulers Methode und die Euler–Maclaurin-Formel. Er erleichtert die Verwendung von differentialgleichungen, insbesondere mit der Einführung der Euler–Mascheroni-Konstante:

γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\neq I +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}

Eines von Eulers ungewöhnlicheren Interessen war die Anwendung mathematischer Ideen in der Musik., Im Jahr 1739 schrieb er das Tentamen novae theoriae musicae, in der Hoffnung, schließlich Musiktheorie als Teil der Mathematik zu integrieren. Dieser Teil seiner Arbeit erhielt jedoch keine große Aufmerksamkeit und wurde einst als zu mathematisch für Musiker und zu musikalisch für Mathematiker beschrieben.

Im Jahr 1911, fast 130 Jahre nach Eulers Tod, verwendete Alfred J. Lotka Eulers Arbeit, um die Euler–Lotka-Gleichung zur Berechnung der Bevölkerungswachstumsraten für altersstrukturierte Populationen abzuleiten, eine grundlegende Methode, die häufig in der Populationsbiologie und-ökologie verwendet wird.,

Physik und Astronomie

Euler half bei der Entwicklung der Euler–Bernoulli-Strahlgleichung, die zu einem Eckpfeiler der Technik wurde. Neben der erfolgreichen Anwendung seiner Analysewerkzeuge auf Probleme in der klassischen Mechanik wendete Euler diese Techniken auf himmlische Probleme an. Seine Arbeit in der Astronomie wurde im Laufe seiner Karriere von mehreren Pariser Akademiepreisen anerkannt. Seine Leistungen umfassen die Bestimmung der Umlaufbahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern mit großer Genauigkeit, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Parallaxe der Sonne., Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung genauer Längengradtabellen bei.

Euler leistete wichtige Beiträge in der Optik. Er widersprach Newtons korpuskulärer Lichttheorie in den Opticks, die damals die vorherrschende Theorie war. Seine 1740er Papiere über Optik dazu beigetragen, sicherzustellen, dass die Wellentheorie des Lichts von Christiaan Huygens vorgeschlagen würde die dominierende Denkweise werden, zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.

1757 veröffentlichte er einen wichtigen Satz von Gleichungen für den Inviszidenfluss, die heute als Euler-Gleichungen bekannt sind.,artial (\rho {\vec {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\vec {u} \otimes (\rho \vec {u} ))+\nabla p=\vec {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\vec {u} (E+p))=0,\end{ausgerichtet}}}

wo

• ρ der Flüssigkeit, Masse, Dichte,
• u ist die Strömungsgeschwindigkeit Vektors, mit den Komponenten u, v, w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) ist die Gesamtenergie pro Volumeneinheit, mit e wird die innere Energie pro Masseneinheit der Flüssigkeit,
• p ist der Druck,
• ⊗ bezeichnet das tensorprodukt, und
• 0 die null-Vektor.,

Euler ist im Bauwesen für seine Formel bekannt, die die kritische Knicklast einer idealen Strebe gibt, die nur von ihrer Länge und Biegesteifigkeit abhängt:

F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}}

wobei

• F = maximale oder kritische Kraft (vertikale Belastung der Spalte),
• E = Elastizitätsmodul,
• I = Flächenmoment der Trägheit,
• L = nicht unterstützte Spaltenlänge,
• K = spaltenwirksamer Längenfaktor, dessen Wert wie folgt von den Bedingungen der Endunterstützung der Spalte abhängt.,

Für beide Enden festgesteckt (aufklappbar, frei drehbar), K = 1,0. Für beide enden fixiert, K = 0.50. Für ein Ende fixiert und das andere Ende fixiert, K = 0.699… Für ein Ende fixiert und das andere Ende frei, sich seitlich zu bewegen, K = 2.0.

• K L ist die effektive Länge der Spalte.

Logik

Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zugeschrieben, um syllogistisches Denken zu veranschaulichen (1768). Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden.,

Ein Euler-Diagramm ist ein Diagramm, bedeutet die Vertretung von Mengen und Ihren Beziehungen. Euler-Diagramme bestehen aus einfachen geschlossenen Kurven (normalerweise Kreisen) in der Ebene, die Mengen darstellen. Jede Euler-Kurve teilt die Ebene in zwei Bereiche oder „Zonen“: das Innere, das symbolisch die Elemente der Menge darstellt, und das Äußere, das alle Elemente darstellt, die nicht Mitglieder der Menge sind. Die Größen oder Formen der Kurven sind nicht wichtig; Die Bedeutung des Diagramms liegt darin, wie sie sich überlappen., Die räumlichen Beziehungen zwischen den von jeder Kurve begrenzten Regionen (Überlappung, Eindämmung oder keine) entsprechen mengentheoretischen Beziehungen (Schnittmenge, Teilmenge und Disjointness). Kurven, deren Innenzonen sich nicht schneiden, stellen disjunkte Mengen dar. Zwei Kurven, deren innere Zonen sich schneiden, stellen Mengen dar, die gemeinsame Elemente haben; Die Zone innerhalb beider Kurven repräsentiert die Menge von Elementen, die beiden Mengen gemeinsam sind (der Schnittpunkt der Mengen). Eine Kurve, die vollständig in der inneren Zone einer anderen enthalten ist, stellt eine Teilmenge davon dar., Euler-Diagramme (und ihre Verfeinerung zu Venn-Diagrammen) wurden als Teil des Unterrichts in Mengenlehre als Teil der New Math Movement in den 1960er Jahren aufgenommen. Seitdem wurden sie auch von anderen Lehrplanbereichen wie Lesen übernommen.

Musik

Auch im Umgang mit Musik ist Eulers Ansatz hauptsächlich mathematisch. Seine Schriften über Musik sind nicht besonders zahlreich (ein paar hundert Seiten, in seiner Gesamtproduktion von etwa dreißigtausend Seiten), aber sie spiegeln eine frühe Beschäftigung wider und eine, die ihn sein ganzes Leben lang nicht verlassen hat.,

Euler entwarf ein spezifisches Diagramm, das Speculum musicum, um das diatonico-chromatische Genre zu veranschaulichen, und diskutierte Wege in diesem Diagramm für bestimmte Intervalle und erinnerte an sein Interesse an den Sieben Brücken von Königsberg (siehe oben). Das Gerät zog erneutes Interesse als Tonnetz in der neo-Riemannschen Theorie auf sich (siehe auch Gitter (Musik)).

Euler benutzte ferner das Prinzip des „Exponenten“, um eine Ableitung des Gradus suavitatis (Grad der Selbstgefälligkeit, der Verträglichkeit) von Intervallen und Akkorden von ihren Hauptfaktoren vorzuschlagen-man muss bedenken, dass er nur Intonation betrachtete, d.h., 1 und die Primzahlen 3 und 5. Es wurden Formeln vorgeschlagen, die dieses System auf eine beliebige Anzahl von Primzahlen erweitern, z. B. in der Form

ds = Σ (kipi – ki) + 1

wobei pi Primzahlen und ki ihre Exponenten sind.