Leonhard Euler (Polski)

Euler wprowadził użycie funkcji wykładniczej i logarytmów w dowodach analitycznych. Odkrył sposoby wyrażania różnych funkcji logarytmicznych za pomocą szeregów potęgowych i z powodzeniem zdefiniował logarytmy dla liczb ujemnych i złożonych, znacznie rozszerzając tym samym zakres matematycznych zastosowań logarytmów. Zdefiniował również funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i odkrył jej związek z funkcjami trygonometrycznymi., Dla dowolnej liczby rzeczywistej φ (przyjmowanej jako radiany), wzór Eulera stwierdza, że złożona funkcja wykładnicza spełnia

e i φ = cos φ φ + i sin φ φ . {\displaystyle e^{i\varphi } = \ cos \ varphi +i \ sin \varphi .}

szczególny przypadek powyższego wzoru jest znany jako tożsamość Eulera,

E i π + 1 = 0 {\displaystyle E^{i\pi }+1=0}

nazywany „najbardziej niezwykłym wzorem w matematyce” przez Richarda P. Feynmana, dla jego pojedynczych zastosowań pojęć dodawania, mnożenia, wykładnictwa i równości oraz pojedynczych zastosowań ważnych stałych 0, 1, e, I i π., W 1988 roku czytelnicy the Mathematical Intelligencer uznali go za „najpiękniejszą formułę matematyczną w historii”. W sumie Euler był odpowiedzialny za trzy z pięciu najlepszych wzorów w tej ankiecie.

wzór de Moivre ' a jest bezpośrednią konsekwencją wzoru Eulera.

Euler rozwinął teorię wyższych funkcji transcendentalnych wprowadzając funkcję gamma i wprowadził nową metodę rozwiązywania równań kwarkowych. Znalazł sposób na obliczenie całek z ograniczeniami złożonymi, zapowiadając rozwój nowoczesnej analizy złożonej., Wynalazł rachunek różniczkowy, w tym jego najbardziej znany wynik, równanie Eulera-Lagrange ' a.

Euler był pionierem wykorzystania metod analitycznych do rozwiązywania problemów teorii liczb. W ten sposób połączył dwie różne gałęzie matematyki i wprowadził nową dziedzinę nauki, analityczną teorię liczb. Euler stworzył teorię szeregów hipergeometrycznych, szeregów q, funkcji trygonometrycznych hiperbolicznych oraz analityczną teorię ułamków ciągłych., Na przykład udowodnił nieskończoność liczb pierwszych za pomocą dywergencji szeregów harmonicznych i użył metod analitycznych, aby uzyskać pewne zrozumienie sposobu rozkładu liczb pierwszych. Prace Eulera w tej dziedzinie doprowadziły do opracowania twierdzenia o liczbach pierwszych.

teoria liczb

zainteresowanie Eulera teorią liczb wynika z wpływu Christiana Goldbacha, jego przyjaciela w Petersburskiej Akademii. Wiele wczesnych prac Eulera nad teorią liczb opierało się na pracach Pierre ' a de Fermata. Euler rozwinął niektóre idee Fermata i obalił niektóre jego przypuszczenia.,

Euler łączył naturę rozkładu pierwotnego z ideami w analizie. Udowodnił, że suma wzajemności liczb pierwszych jest rozbieżna. W ten sposób odkrył związek między funkcją Zeta Riemanna a liczbami pierwszymi; jest to znane jako wzór iloczynu Eulera dla funkcji Zeta Riemanna.

Euler udowodnił tożsamość Newtona, małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów i wniósł wyraźny wkład do twierdzenia Lagrange ' a o czterech kwadratach., Wynalazł również funkcję totientową φ (n), liczbę dodatnich liczb całkowitych mniejszych lub równych liczbie całkowitej n, które są koprimami do N. Korzystając z właściwości tej funkcji, uogólnił małe twierdzenie Fermata do tego, co jest obecnie znane jako twierdzenie Eulera. Wniósł znaczący wkład w teorię liczb doskonałych, która fascynowała matematyków od czasów Euklidesa. Udowodnił, że związek między liczbami parzystymi doskonałymi a liczbami pierwszymi Mersenne ' a udowodniony wcześniej przez Euklidesa był jeden do jednego, wynik znany również jako twierdzenie Euklidesa–Eulera., Euler przypuszczał również, że prawo kwadratowej wzajemności. Pojęcie to jest uważane za podstawowe twierdzenie teorii liczb, a jego idee utorowały drogę pracy Carla Friedricha Gauss.By w 1772 Euler udowodnił, że 231 − 1 = 2,147,483,647 jest liczbą pierwszą Mersenne ' a. Prawdopodobnie był to największy znany prime aż do 1867 roku.

teoria grafów

w 1735 roku Euler przedstawił rozwiązanie problemu znanego jako Siedem mostów Królewca. Miasto Königsberg w Prusach było położone na rzece Pregel i obejmowało dwie duże wyspy, które były połączone ze sobą siedmioma mostami. Problem polega na tym, aby zdecydować, czy możliwe jest podążanie ścieżką, która przecina każdy most dokładnie raz i wraca do punktu wyjścia. Nie jest to możliwe: nie ma układu Euleriańskiego. Rozwiązanie to jest uważane za pierwsze twierdzenie teorii grafów, a konkretnie teorii grafów planarnych.,

Euler odkrył również wzór V-E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} odnoszący się do liczby wierzchołków, krawędzi i powierzchni wypukłego wielościanu, a więc grafu planarnego. Stała w tym wzorze jest obecnie znana jako charakterystyka Eulera dla grafu (lub innego obiektu matematycznego) i jest związana z rodzajem obiektu. Badanie i uogólnianie tego wzoru, w szczególności przez Cauchy 'ego i L' Huiliera, jest początkiem topologii.,

Matematyka Stosowana

niektóre z największych sukcesów Eulera były w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów analitycznych, a także w opisywaniu licznych zastosowań liczb Bernoulliego, szeregów Fouriera, liczb Eulera, stałych E i π, ciągłych ułamków i całek. Zintegrował rachunek różniczkowy Leibniza z metodą Fluxionów Newtona i opracował narzędzia, które ułatwiły zastosowanie rachunku w problemach fizycznych. Poczynił wielkie postępy w ulepszaniu numerycznego aproksymacji całek, wymyślając to, co obecnie znane jest jako przybliżenia Eulera., Najbardziej znane z tych przybliżeń to metoda Eulera i wzór Eulera-Maclaurina. Ułatwił również stosowanie równań różniczkowych, w szczególności wprowadzając stałą Eulera-Mascheroniego:

γ = Lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n-ln ⁡ (n)). {\displaystyle \ gamma = \ lim _{n\rightarrow \infty } \ left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1} {4}}+ \ cdots +{\frac {1} {n}}- \ ln (N) \ right).

jednym z bardziej niezwykłych zainteresowań Eulera było zastosowanie idei matematycznych w muzyce., W 1739 roku napisał Tentamen novae theoriae musicae, mając nadzieję na włączenie teorii muzyki do matematyki. Ta część jego twórczości nie spotkała się jednak z szerokim zainteresowaniem i była kiedyś opisywana jako zbyt matematyczna dla muzyków i zbyt muzyczna dla matematyków.

w 1911 roku, prawie 130 lat po śmierci Eulera, Alfred J. Lotka użył równania Eulera–Lotka do obliczenia tempa wzrostu populacji dla populacji o strukturze wiekowej, podstawowej metody powszechnie stosowanej w biologii i ekologii populacji.,

fizyka i astronomia

Euler pomógł opracować równanie wiązki Eulera–Bernoulliego, które stało się podstawą inżynierii. Oprócz skutecznego zastosowania swoich narzędzi analitycznych do problemów w mechanice klasycznej, Euler zastosował te techniki do problemów niebieskich. Jego prace w dziedzinie astronomii zostały wyróżnione wieloma nagrodami Akademii Paryskiej w ciągu swojej kariery. Do jego osiągnięć należy dokładne określenie Orbit komet i innych ciał niebieskich, zrozumienie natury komet oraz obliczenie paralaksy słońca., Jego obliczenia przyczyniły się do opracowania dokładnych tabel długości geograficznej.

Euler wniósł istotny wkład w optykę. Nie zgadzał się z korpuskularną teorią światła w optyce Newtona, która była wówczas dominującą teorią. Jego prace z 1740 roku na temat optyki pomogły zapewnić, że falowa teoria światła zaproponowana przez Christiaana Huygensa stanie się dominującym sposobem myślenia, przynajmniej do czasu rozwoju kwantowej teorii światła.

w 1757 roku opublikował ważny zbiór równań dla przepływu inviscid, które są obecnie znane jako równania Eulera.,artial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\gdzie

• ρ-gęstość masy cieczy,
• u-wektor prędkości cieczy z częściami u, v i w,
• E = ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) – pełna energia na jednostkę objętości, przy czym e-wewnętrzna energia na jednostkę masy płynu,
• p-ciśnienie,
• ⊗ – тензорное dzieło, a
• 0-zero wektor.,

Euler jest dobrze znany w inżynierii budowlanej ze swojego wzoru przedstawiającego krytyczne obciążenie wyboczeniowe idealnej rozpórki, które zależy tylko od jej długości i sztywności zginania:

F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle f={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

gdzie

• F = Maksymalna lub krytyczna Siła (pionowe obciążenie kolumny),
• e = moduł sprężystości,
• i = powierzchniowy Moment bezwładności,
• l = nieobsługiwana długość kolumny,
• K = współczynnik długości efektywnej kolumny, którego wartość zależy od warunków podparcia końcowego kolumny, jak poniżej.,

dla obu końców przypiętych (zawiasowych, swobodnie obracających się), K = 1.0. Dla obu końców stałych, K = 0,50. Dla jednego końca ustalonego i drugiego końca przypiętego, K = 0,699… dla jednego końca ustalonego i drugiego końca swobodnego poruszania się w bok, K = 2,0.

• K L jest efektywną długością kolumny.

logika

eulerowi przypisuje się użycie krzywych zamkniętych do zilustrowania rozumowania sylogistycznego (1768). Diagramy te stały się znane jako diagramy Eulera.,

diagram Eulera jest diagrammatycznym sposobem przedstawiania zbiorów i ich relacji. Diagramy Eulera składają się z prostych krzywych zamkniętych (Zwykle okręgów)w płaszczyźnie, które przedstawiają zbiory. Każda krzywa Eulera dzieli płaszczyznę na dwa regiony lub” strefy”: wewnętrzne, które symbolicznie reprezentują elementy zbioru, i zewnętrzne, które reprezentują wszystkie elementy, które nie są członkami zbioru. Rozmiary lub kształty krzywych nie są ważne; znaczenie diagramu jest w tym, jak nakładają się na siebie., Relacje przestrzenne między regionami ograniczonymi przez każdą krzywą (nakładanie się, ograniczanie lub żadna z nich) odpowiadają relacjom set-theoretic (przecięcie, podzbiór i niepołączalność). Krzywe, których strefy wewnętrzne nie przecinają się, reprezentują zbiory rozłączne. Dwie krzywe, których strefy wewnętrzne przecinają się reprezentują zbiory, które mają elementy wspólne; strefa wewnątrz obu krzywych reprezentuje zbiór elementów wspólnych dla obu zbiorów (przecięcie zbiorów). Krzywa zawarta całkowicie w strefie wewnętrznej innej reprezentuje jej podzbiór., Diagramy Eulera (i ich udoskonalenie do diagramów Venna) zostały włączone jako część instrukcji w teorii mnogości w ramach nowego ruchu matematycznego w 1960 roku. od tego czasu zostały one również przyjęte przez inne obszary programowe, takie jak czytanie.

Muzyka

nawet jeśli chodzi o muzykę, podejście Eulera jest głównie matematyczne. Jego pisma o muzyce nie są szczególnie liczne (kilkaset stron, w sumie około trzydziestu tysięcy stron), ale odzwierciedlają wczesne zainteresowanie i takie, które nie opuściło go przez całe życie.,

Euler opracował konkretny Wykres, Speculum musicum, aby zilustrować gatunek diatonico-chromatyczny, i omówił ścieżki w tym wykresie dla określonych interwałów, przypominając swoje zainteresowanie siedmioma mostami Królewca (patrz wyżej). Urządzenie wzbudziło ponowne zainteresowanie jako Tonnetza w teorii Neoriemanowskiej (zob. też krata (muzyka)).

Euler użył dalej Zasady „wykładnika”, aby zaproponować wyprowadzenie gradus suavitatis (stopnia suavity, zgodności) interwałów i akordów od ich czynników pierwotnych – należy pamiętać, że uważał tylko intonację, tj., 1 i tylko liczby pierwsze 3 i 5. Zaproponowano formuły rozszerzające ten system na dowolną liczbę liczb pierwszych, np. w postaci

DS = Σ (kipi-ki) + 1

Gdzie pi są liczbami pierwszymi, a ki ich wykładnikami.